points d'inflexion de x^5 — solution étape par étape

1) Pour

x^{5}

sur ℝ, cherchons où la dérivée seconde s'annule et change de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x^{5})

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{5})

5 x^{4}

⇥

5 x^{4}

La dérivée première est

5 x^{4}

⇥1.2) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (5 x^{4})

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (5 x^{4})

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

⇥

5 \cdot 4 x^{3}

⇥ⅰ

5 \cdot 4

20

⇥

20 x^{3}

La dérivée seconde est

20 x^{3}

⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

20 x^{3} = 0

⇥On simplifie l'expression par

20

⇥⇥Résolvons dans

ℝ

x^{3} = 0

⇥⇥

x^{3} = 0

équivaut à :

x = 0

⇥⇥Solution obtenue :

x = 0

⇥1.4) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (20 x^{3})

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (20 x^{3})

20 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

20 \cdot 3 x^{2}

⇥ⅰ

20 \cdot 3

60

⇥

60 x^{2}

⇥1.5) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (60 x^{2})

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (60 x^{2})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

60 \cdot 2 x

⇥ⅰ

60 \cdot 2

120

⇥

120 x

⇥1.6) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (120 x)

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (120 x)

120

⇥

120

x = 0

, le zéro de la dérivée seconde est d'ordre 3 : cet ordre est impair, donc la convexité change

Au voisinage de

0

, la dérivée seconde est négative à gauche et positive à droite : la courbe passe de concave à convexe

⇥

0^{5}

⇥

0

L'ordonnée est f(

0

) =

0

▶Points d'inflexion :

{(0; 0)}

🖼/draw?f1=x%5E5&v=x&b=-2.0&e=2.0&min=-38.4&max=38.4&points=0%2C0