polar(2+2i) — solution étape par étape

Évaluons la forme polaire de :

2 + 2 i

comme

r \exp (i θ)

, avec r le module et θ un argument

Le nombre complexe

a + i b

a pour module

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

, donc :

ⅰ

\mod (2 + 2 i)

\sqrt{2^{2} + 2^{2}}

\sqrt{2^{2} + 2^{2}}

ⓘ On calcule les puissances avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance d'exposant entier strictement positif est un produit répété :

2^{2}

2 \times 2

4

■On calcule les puissances avant les multiplications, les additions et les soustractions. Avec un exposant entier strictement positif, une puissance correspond à un produit répété :

2^{2}

2 \times 2

4

\sqrt{4 + 4}

ⓘ On commence par calculer ce qui est entre parenthèses :

4 + 4

8

\sqrt{8}

ⓘ Cherchons le plus grand carré qui divise

8

4

2^{2}

, et sortons-le de la racine :

\sqrt{8}

\sqrt{4 \times 2}

\sqrt{4} \times \sqrt{2}

2 \times \sqrt{2}

2 \times \sqrt{2}

Pour un nombre complexe non nul

a + i b

, l’argument est l’angle orienté du demi-axe réel positif vers le vecteur

(a; b)

; selon les signes de a et b, il vaut

0

π

\frac{π}{2}

- \frac{π}{2}

atan (\frac{b}{a})

atan (\frac{b}{a}) + π

atan (\frac{b}{a}) - π

ⅰ

\arg (2 + 2 i)

\arctan (\frac{2}{2})

\arctan (\frac{2}{2})

ⓘ Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

\arctan (1)

ⓘ acos, asin et atan donnent respectivement l’angle principal dont le cosinus, le sinus ou la tangente vaut le nombre, ici une valeur remarquable :

\arctan (1)

\frac{π}{4}

\frac{π}{4}

Donc la forme polaire est :

ⅰ

polar (2 + 2 i)

2 \times \sqrt{2} \times \exp (i \times \frac{π}{4})

2 \times \sqrt{2} \times \exp (i \times \frac{π}{4})

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

i \times \frac{π}{4}

\frac{i π}{4}

2 \times \sqrt{2} \times \exp (\frac{i π}{4})

▶Résultat :

2 \exp (\frac{i π}{4}) \times \sqrt{2}