reciproque de 4^x — solution étape par étape

Une exponentielle de base positive et différente de 1, d'exposant affine non constant, est strictement monotone sur ℝ et prend toutes les valeurs strictement positives

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = 4^{x}

⇥1) Résolvons dans

ℝ

4^{x} = y

⇥Le logarithme n'étant défini que pour un nombre strictement positif, appliquons la fonction ln des deux côtés, à condition que

y > 0

⇥

\ln (4^{x}) = \ln (y)

⇥ⓘ Sur le domaine réel de l'expression initiale, la base est strictement positive : le logarithme de la puissance est l'exposant multiplié par le logarithme de la base :

\ln (4^{x})

x \cdot \ln (4)

⇥

x \cdot \ln (4) = \ln (y)

⇥ⓘ Le logarithme d'une puissance est un multiple du logarithme, ln(a^n) = n*ln(a) :

\ln (4)

\ln (2^{2})

2 \cdot \ln (2)

⇥

x \cdot 2 \cdot \ln (2) = \ln (y)

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2 \cdot \ln (2)

⇥Solution trouvée :

x = \frac{\ln (y)}{2 \cdot \ln (2)}

⇥2) Cherchons y dans :

y > 0

⇥Solution obtenue :

y > 0

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{\ln (x)}{2 \cdot \ln (2)}

, de domaine

x > 0

, la condition trouvée en isolant l'entrée

▶Fonction réciproque :

\frac{\ln (x)}{2 \cdot \ln (2)}