reciproque de f(x)=1/x-1 — solution étape par étape

1) Ajoutons les fractions :

\frac{1}{x} - 1

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{x} - 1

\frac{1 - 1 \cdot x}{x}

\frac{1 - 1 \cdot x}{x}

ⓘ Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot x

x

\frac{1 - x}{x}

2) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

- 1 \cdot 0 - 1

-1

≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \frac{1 - x}{x}

⇥2.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{1 - x}{x} = y

⇥2.2) Additionnons les fractions :

\frac{1 - x}{x} - y = 0

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1 - x}{x} - y

\frac{(1 - x) - y \cdot x}{x}

⇥

\frac{(1 - x) - y \cdot x}{x} = 0

⇥

\frac{1 - x - y x}{x} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥2.2.1) Résolvons dans

ℝ

1 - x - y x = 0

⇥⇥

- x - y x = -1

⇥⇥

(- 1 - y) \cdot x = -1

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

(- 1 - y)

, qui doit être non nul :

y \neq -1

⇥⇥

x = - \frac{1}{- 1 - y}

⇥⇥ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 1 - y

- (1 + y)

⇥⇥

x = - \frac{1}{- (1 + y)}

⇥⇥ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- \frac{1}{- (1 + y)}

\frac{1}{1 + y}

⇥⇥

x = \frac{1}{1 + y}

⇥⇥Solution trouvée :

x = \frac{1}{y + 1}

⇥⇥2.2.2) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

x \neq 0

⇥⇥Condition de définition :

x \neq 0

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{1}{x + 1}

, de domaine

x \neq -1

, la condition trouvée en isolant l'entrée

▶Fonction réciproque :

\frac{1}{x + 1}