reciproque de f(x)=4sqrt(2x+4)-3

La fonction est strictement monotone sur

x \geq -2

: elle admet une réciproque sur son image

y \geq -3

On isole la racine :

\sqrt{2 x + 4} = \frac{y + 3}{4}

, avec

y \geq -3

. Sous cette condition, mettre au carré donne

2 x + 4 = {(\frac{y + 3}{4})}^{2}

Résolvons dans

ℝ

2 x + 4 = {(\frac{y + 3}{4})}^{2}

ⓘ On soustrait

4

aux deux membres

2 x = {(\frac{y + 3}{4})}^{2} - 4

ⓘ La puissance d'un quotient est le quotient des puissances, (a/b)^n = a^n/b^n :

{(\frac{y + 3}{4})}^{2}

\frac{{(y + 3)}^{2}}{4^{2}}

2 x = \frac{{(y + 3)}^{2}}{4^{2}} - 4

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{2}

4 \cdot 4

16

2 x = \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} - 4

ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(y + 3)}^{2}

(y + 3) \cdot (y + 3)

2 x = \frac{(y + 3) \cdot (y + 3)}{16} - 4

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(y + 3) \cdot (y + 3)

y \cdot y

+ y \cdot 3

+ 3 y

+ 3 \cdot 3

2 x = \frac{y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3}{16} - 4

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

y \cdot y

y^{2}

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

y \cdot 3 + 3 y

6 y

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 3

9

2 x = \frac{y^{2} + 6 y + 9}{16} - 4

ⅰ

\frac{y^{2} + 6 y + 9}{16} - 4

\frac{(y^{2} + 6 y + 9) + 16 \cdot (-4)}{16}

2 x = \frac{(y^{2} + 6 y + 9) + 16 \cdot (-4)}{16}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

16 \cdot (-4)

- 16 \cdot 4

- (10 + 6) \cdot 4

- (10 \cdot 4 + 6 \cdot 4)

- (40 + 24)

-64

2 x = \frac{y^{2} + 6 y + 9 - 64}{16}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

9 - 64

-55

2 x = \frac{y^{2} + 6 y - 55}{16}

ⓘ On divise les deux membres par

2

x = \frac{\frac{y^{2} + 6 y - 55}{16}}{2}

ⓘ Diviser une fraction par

2

revient à multiplier son dénominateur par

2

\frac{\frac{y^{2} + 6 y - 55}{16}}{2}

\frac{y^{2} + 6 y - 55}{16 \cdot 2}

x = \frac{y^{2} + 6 y - 55}{16 \cdot 2}

ⅰ

16 \cdot 2

(10 + 6) \cdot 2

10 \cdot 2 + 6 \cdot 2

20 + 12

32

Solution trouvée :

x = \frac{y^{2} + 6 y - 55}{32}

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{x^{2} + 6 x - 55}{32}

, de domaine

x \geq -3

▶Fonction réciproque :

(\frac{x^{2} + 6 x - 55}{32} pour x \geq -3)