reciproque de f(x)=6/(5-x) — solution étape par étape

1) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

0 \cdot 5 - 6 \cdot (-1)

6

≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \frac{6}{5 - x}

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{6}{5 - x} = y

⇥1.2) Ajoutons les fractions :

\frac{6}{5 - x} - y = 0

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{6}{5 - x} - y

\frac{6 - y \cdot (5 - x)}{5 - x}

⇥

\frac{6 - y \cdot (5 - x)}{5 - x} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥1.2.1) Résolvons dans

ℝ

6 - y \cdot (5 - x) = 0

⇥⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- y \cdot (5 - x)

- (y \cdot 5 + y \cdot (- x))

⇥⇥

6 - (y \cdot 5 + y \cdot (- x)) = 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (y \cdot 5 + y \cdot (- x))

- y \cdot 5 - y \cdot (- x)

⇥⇥

6 - y \cdot 5 - y \cdot (- x) = 0

⇥⇥ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- y \cdot (- x)

y x

⇥⇥

6 - y \cdot 5 + y x = 0

⇥⇥

y x = - 6 + y \cdot 5

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

y

, qui doit être non nul :

y \neq 0

⇥⇥Solution obtenue :

x = \frac{5 y - 6}{y}

⇥⇥1.2.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

5 - x \neq 0

⇥⇥Condition de définition :

x \neq 5

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{5 x - 6}{x}

, de domaine

x \neq 0

, la condition trouvée en isolant l'entrée

▶Fonction réciproque :

\frac{5 x - 6}{x}