reciproque de f(x)=a^x — solution étape par étape

Une exponentielle de base positive et différente de 1, d'exposant affine non constant, est strictement monotone sur ℝ et prend toutes les valeurs strictement positives

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = a^{x}

⇥1) Résolvons dans

ℝ

a^{x} = y

⇥Le logarithme n'étant défini que pour un nombre strictement positif, et une base égale à 1 donnant toujours 1, appliquons la fonction ln des deux côtés, à condition que

a > 0

a \neq 1

y > 0

⇥

\ln (a^{x}) = \ln (y)

⇥

x \cdot \ln (a) = \ln (y)

⇥ⓘ On divise les deux membres par

\ln (a)

, qui doit être non nul :

a \neq 1

⇥Solution obtenue :

x = \frac{\ln (y)}{\ln (a)}

⇥2) Cherchons a dans :

a > 0

⇥Solution trouvée :

a > 0

⇥3) Cherchons a dans :

a \neq 1

en utilisant

a > 0

⇥Construisons le tableau des différents éléments pour déterminer la solution globale :

⇥

$a$	$-∞$		$0$		$1$		$+∞$
$a > 0$		❌	❌	✅	✅	✅
$a \neq 1$		✅	✅	✅	❌	✅
Solution globale		❌	❌	✅	❌	✅

⇥L'intersection de

a > 0

a \neq 1

donne

a \in] 0; 1 [\cup] 1; +∞ [

⇥4) Résolvons en y :

y > 0

⇥Solution obtenue :

y > 0

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{\ln (x)}{\ln (a)}

, de domaine

{x > 0; a \in] 0; 1 [\cup] 1; +∞ [}

▶Fonction réciproque :

\frac{\ln (x)}{\ln (a)}