reciproque de f(x)= 1/(x+8) — solution étape par étape

1) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

0 \cdot 8 - 1

-1

≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Le domaine de la fonction est

x \in ℝ \ {-8}

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \frac{1}{x + 8}

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{1}{x + 8} = y

⇥Ajoutons les fractions :

\frac{1}{x + 8} - y = 0

⇥

\frac{1 - y \cdot (x + 8)}{x + 8} = 0

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

1 - y \cdot (x + 8) = 0

⇥

1 - (y x + y \cdot 8) = 0

⇥

1 - y \cdot x - y \cdot 8 = 0

⇥

- y x = - 1 + y \cdot 8

⇥

x = \frac{- 1 + y \cdot 8}{- y}

⇥

x = - \frac{- 1 + y \cdot 8}{y}

⇥

x = \frac{1 - y \cdot 8}{y}

⇥Solution obtenue :

x = \frac{1 - 8 y}{y}

⇥1.3) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

x + 8 \neq 0

⇥Solution exclue :

x \neq -8

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{1 - 8 x}{x}

, de domaine

x \in ℝ \ {0}

▶Fonction réciproque :

\frac{1 - 8 x}{x}