reciproque de f(x)=-2^x — solution étape par étape

Une exponentielle de base positive et différente de 1, d'exposant affine non constant, est strictement monotone sur ℝ et prend toutes les valeurs strictement positives

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = - 2^{x}

⇥1) Résolvons dans

ℝ

- 2^{x} = y

⇥ⓘ On divise les deux membres par

-1

⇥Le logarithme n'étant défini que pour un nombre strictement positif, appliquons la fonction ln des deux côtés, à condition que

- y > 0

⇥

\ln (2^{x}) = \ln (- y)

⇥ⓘ Sur le domaine réel de l'expression initiale, la base est strictement positive : le logarithme de la puissance est l'exposant multiplié par le logarithme de la base :

\ln (2^{x})

x \cdot \ln (2)

⇥

x \cdot \ln (2) = \ln (- y)

⇥ⓘ On divise les deux membres par

\ln (2)

⇥Solution trouvée :

x = \frac{\ln (- y)}{\ln (2)}

⇥2) Cherchons y dans :

- y > 0

⇥ⓘ On ajoute

y

aux deux membres

⇥

0 > y

⇥Solution trouvée :

y < 0

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{\ln (- x)}{\ln (2)}

, de domaine

x < 0

, la condition trouvée en isolant l'entrée

▶Fonction réciproque :

\frac{\ln (- x)}{\ln (2)}