reciproque de f(x)=-2sqrt(3x-1)+4

La fonction est strictement monotone sur

x \geq \frac{1}{3}

: elle admet une réciproque sur son image

y \leq 4

On isole la racine :

\sqrt{3 x - 1} = \frac{y - 4}{-2}

, avec

y \leq 4

. Sous cette condition, mettre au carré donne

3 x - 1 = {(\frac{y - 4}{-2})}^{2}

Résolvons dans

ℝ

3 x - 1 = {(\frac{y - 4}{-2})}^{2}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{y - 4}{-2}

- \frac{y - 4}{2}

■Avec un exposant entier pair, le signe moins dans la base disparaît ; avec un exposant entier impair, il passe devant la puissance :

{(- \frac{y - 4}{2})}^{2}

{(\frac{y - 4}{2})}^{2}

3 x - 1 = {(\frac{y - 4}{2})}^{2}

ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

3 x = {(\frac{y - 4}{2})}^{2} + 1

ⓘ La puissance d'un quotient est le quotient des puissances, (a/b)^n = a^n/b^n :

{(\frac{y - 4}{2})}^{2}

\frac{{(y - 4)}^{2}}{2^{2}}

3 x = \frac{{(y - 4)}^{2}}{2^{2}} + 1

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

3 x = \frac{{(y - 4)}^{2}}{4} + 1

ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(y - 4)}^{2}

(y - 4) \cdot (y - 4)

3 x = \frac{(y - 4) \cdot (y - 4)}{4} + 1

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(y - 4) \cdot (y - 4)

y \cdot y

+ y \cdot (-4)

- 4 y

- 4 \cdot (-4)

3 x = \frac{y \cdot y + y \cdot (-4) - 4 y - 4 \cdot (-4)}{4} + 1

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

y \cdot y

y^{2}

■On place le signe moins devant le produit :

y \cdot (-4)

- 4 y

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-4)

16

3 x = \frac{y^{2} - 4 y - 4 y + 16}{4} + 1

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 4 y - 4 y

-8 y

3 x = \frac{y^{2} - 8 y + 16}{4} + 1

ⅰ

\frac{y^{2} - 8 y + 16}{4} + 1

\frac{(y^{2} - 8 y + 16) + 4}{4}

3 x = \frac{(y^{2} - 8 y + 16) + 4}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

16 + 4

20

3 x = \frac{y^{2} - 8 y + 20}{4}

ⓘ Une fraction dont le numérateur est une somme se sépare terme à terme, (a + b)/c = a/c + b/c :

\frac{y^{2} - 8 y + 20}{4}

- 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}

3 x = - 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}

ⓘ On divise les deux membres par

3

x = \frac{- 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}}{3}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}

\frac{- 2 y \cdot 4 + (y^{2} + 20)}{4}

x = \frac{\frac{- 2 y \cdot 4 + (y^{2} + 20)}{4}}{3}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 4

8

x = \frac{\frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4}}{3}

ⓘ Diviser une fraction par

3

revient à multiplier son dénominateur par

3

\frac{\frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4}}{3}

\frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4 \cdot 3}

x = \frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4 \cdot 3}

ⅰ

4 \cdot 3

12

x = \frac{- 8 y + y^{2} + 20}{12}

Solution obtenue :

x = \frac{y^{2} - 8 y + 20}{12}

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{x^{2} - 8 x + 20}{12}

, de domaine

x \leq 4

▶Fonction réciproque :

(\frac{x^{2} - 8 x + 20}{12} pour x \leq 4)