reciproque de f(x)=(4x)/(3-7x) — solution étape par étape

1) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

4 \cdot 3 - 0 \cdot (-7)

12

≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \frac{4 x}{3 - 7 x}

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{4 x}{3 - 7 x} = y

⇥1.2) Additionnons les fractions :

\frac{4 x}{3 - 7 x} - y = 0

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{4 x}{3 - 7 x} - y

\frac{4 x - y \cdot (3 - 7 x)}{3 - 7 x}

⇥

\frac{4 x - y \cdot (3 - 7 x)}{3 - 7 x} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥1.2.1) Résolvons dans

ℝ

4 x - y \cdot (3 - 7 x) = 0

⇥⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- y \cdot (3 - 7 x)

- (y \cdot 3 + y \cdot (-7) x)

⇥⇥

4 x - (y \cdot 3 + y \cdot (-7) x) = 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (y \cdot 3 + y \cdot (-7) x)

- y \cdot 3 - y \cdot (-7) x

⇥⇥

4 x - y \cdot 3 - y \cdot (-7) x = 0

⇥⇥ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- y \cdot (-7)

7 y

⇥⇥

4 x - y \cdot 3 + 7 y x = 0

⇥⇥

4 x + 7 y x = y \cdot 3

⇥⇥

(4 + 7 y) \cdot x = y \cdot 3

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

(4 + 7 y)

, qui doit être non nul :

y \neq - \frac{4}{7}

⇥⇥Solution obtenue :

x = \frac{3 y}{7 y + 4}

⇥⇥1.2.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

3 - 7 x \neq 0

⇥⇥

7 x \neq 3

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

7

⇥⇥Condition de définition :

x \neq \frac{3}{7}

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{3 x}{7 x + 4}

, de domaine

x \neq - \frac{4}{7}

, la condition trouvée en isolant l'entrée

▶Fonction réciproque :

\frac{3 x}{7 x + 4}