reciproque de f(x)=(5x+4)/(x+5) — solution étape par étape

⚠ 5x est lu comme le produit 5*x : pour une puissance, écrivez 5^x

1) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

5 \cdot 5 - 4

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≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Le domaine de la fonction est

x \in ℝ \ {-5}

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \frac{5 x + 4}{x + 5}

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{5 x + 4}{x + 5} = y

⇥Additionnons les fractions :

\frac{5 x + 4}{x + 5} - y = 0

⇥

\frac{(5 x + 4) - y \cdot (x + 5)}{x + 5} = 0

⇥

\frac{5 x + 4 - y \cdot (x + 5)}{x + 5} = 0

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

5 x + 4 - y \cdot (x + 5) = 0

⇥

5 x + 4 - (y x + y \cdot 5) = 0

⇥

5 x

+ 4

- y \cdot x

- y \cdot 5 = 0

⇥

5 x - y x = - 4 + y \cdot 5

⇥

(5 - y) \cdot x = - 4 + y \cdot 5

⇥Solution obtenue :

x = \frac{5 y - 4}{5 - y}

⇥1.3) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

x + 5 \neq 0

⇥Solution exclue :

x \neq -5

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{5 x - 4}{5 - x}

, de domaine

x \in ℝ \ {5}

▶Fonction réciproque :

\frac{5 x - 4}{5 - x}