reciproque de f(x)=(6x+4)/(x-1) — solution étape par étape

1) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

6 \cdot (-1) - 4

-10

≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \frac{6 x + 4}{x - 1}

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{6 x + 4}{x - 1} = y

⇥1.2) Additionnons les fractions :

\frac{6 x + 4}{x - 1} - y = 0

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{6 x + 4}{x - 1} - y

\frac{(6 x + 4) - y \cdot (x - 1)}{x - 1}

⇥

\frac{(6 x + 4) - y \cdot (x - 1)}{x - 1} = 0

⇥

\frac{6 x + 4 - y \cdot (x - 1)}{x - 1} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥1.2.1) Résolvons dans

ℝ

6 x + 4 - y \cdot (x - 1) = 0

⇥⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- y \cdot (x - 1)

- (y x - y)

⇥⇥

6 x + 4 - (y x - y) = 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (y x - y)

- y \cdot x + y

⇥⇥

6 x

+ 4

- y \cdot x

+ y = 0

⇥⇥

6 x - y x = - 4 - y

⇥⇥

(6 - y) \cdot x = - 4 - y

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

(6 - y)

, qui doit être non nul :

y \neq 6

⇥⇥

x = \frac{- 4 - y}{6 - y}

⇥⇥ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 4 - y

- (4 + y)

⇥⇥

x = - \frac{4 + y}{6 - y}

⇥⇥Solution obtenue :

x = - \frac{y + 4}{6 - y}

⇥⇥1.2.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

x - 1 \neq 0

⇥⇥Condition de définition :

x \neq 1

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

- \frac{x + 4}{6 - x}

, de domaine

x \neq 6

, la condition trouvée en isolant l'entrée

▶Fonction réciproque :

- \frac{x + 4}{6 - x}