reciproque de f(x)=((4x-1))/((2x+3))

1) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

4 \cdot 3 - (-1 \cdot 2)

14

≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{4 x - 1}{2 x + 3} = y

⇥1.2) Additionnons les fractions :

\frac{4 x - 1}{2 x + 3} - y = 0

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{4 x - 1}{2 x + 3} - y

\frac{(4 x - 1) - y \cdot (2 x + 3)}{2 x + 3}

⇥

\frac{(4 x - 1) - y \cdot (2 x + 3)}{2 x + 3} = 0

⇥

\frac{4 x - 1 - y \cdot (2 x + 3)}{2 x + 3} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥1.2.1) Résolvons dans

ℝ

4 x - 1 - y \cdot (2 x + 3) = 0

⇥⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- y \cdot (2 x + 3)

- (y \cdot 2 x + y \cdot 3)

⇥⇥

4 x - 1 - (y \cdot 2 x + y \cdot 3) = 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (y \cdot 2 x + y \cdot 3)

- y \cdot 2 x - y \cdot 3

⇥⇥

4 x

- 1

- y \cdot 2 x

- y \cdot 3 = 0

⇥⇥

4 x - y \cdot 2 x = 1 + y \cdot 3

⇥⇥

(4 - y \cdot 2) \cdot x = 1 + y \cdot 3

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

(4 - y \cdot 2)

, qui doit être non nul :

y \neq 2

⇥⇥Solution trouvée :

x = \frac{3 y + 1}{4 - 2 y}

⇥⇥1.2.2) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

2 x + 3 \neq 0

⇥⇥

2 x \neq -3

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥⇥Condition de définition :

x \neq - \frac{3}{2}

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{3 x + 1}{4 - 2 x}

, de domaine

x \neq 2

, la condition trouvée en isolant l'entrée

▶Fonction réciproque :

\frac{3 x + 1}{4 - 2 x}