reciproque de f(x)=sqrt(4-x)+3 — solution étape par étape

La fonction est strictement monotone sur

x \leq 4

: elle admet une réciproque sur son image

y \geq 3

On isole la racine :

\sqrt{4 - x} = y - 3

, avec

y \geq 3

. Sous cette condition, mettre au carré donne

4 - x = {(y - 3)}^{2}

Résolvons dans

ℝ

4 - x = {(y - 3)}^{2}

ⓘ On regroupe les termes en

x

à droite et les autres à gauche

4 - {(y - 3)}^{2} = x

ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(y - 3)}^{2}

(y - 3) \cdot (y - 3)

4 - (y - 3) \cdot (y - 3) = x

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (y - 3) \cdot (y - 3)

- (y \cdot y

+ y \cdot (-3)

- 3 y

- 3 \cdot (-3))

4 - (y \cdot y

+ y \cdot (-3)

- 3 y

- 3 \cdot (-3)) = x

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (y \cdot y

+ y \cdot (-3)

- 3 y

- 3 \cdot (-3))

- y \cdot y

- y \cdot (-3)

+ 3 y

+ 3 \cdot (-3)

4

- y \cdot y

- y \cdot (-3)

+ 3 y

+ 3 \cdot (-3) = x

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

y \cdot y

y^{2}

■Deux signes moins s'annulent :

- y \cdot (-3)

3 y

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

3 \cdot (-3)

-9

4

- y^{2}

+ 3 y

+ 3 y

- 9 = x

ⓘ On part de

4

et on recule de

9

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

4 - 9

-5

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

3 y + 3 y

6 y

- 5 - y^{2} + 6 y = x

Solution trouvée :

x = - y^{2} + 6 y - 5

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

- x^{2} + 6 x - 5

, de domaine

x \geq 3

▶Fonction réciproque :

(- x^{2} + 6 x - 5 pour x \geq 3)