reciproque de g(x)=(-x-2)/(x+4) — solution étape par étape

1) Ajoutons les fractions :

\frac{- x - 2}{x + 4}

ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- x - 2

- (x + 2)

- \frac{x + 2}{x + 4}

2) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

4 - 2

2

≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = - \frac{x + 2}{x + 4}

⇥2.1) Résolvons dans

ℝ

- \frac{x + 2}{x + 4} = y

⇥2.2) Ajoutons les fractions :

- \frac{x + 2}{x + 4} - y = 0

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{x + 2}{x + 4} - y

\frac{- (x + 2) - y \cdot (x + 4)}{x + 4}

⇥

\frac{- (x + 2) - y \cdot (x + 4)}{x + 4} = 0

⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (x + 2)

- x - 2

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- x - 2 - y \cdot (x + 4)

- (x + 2 + y \cdot (x + 4))

⇥

- \frac{x + 2 + y \cdot (x + 4)}{x + 4} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥2.2.1) Résolvons dans

ℝ

- (x + 2 + y \cdot (x + 4)) = 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (x + 2 + y \cdot (x + 4))

- x - 2 - y \cdot (x + 4)

⇥⇥

- x - 2 - y \cdot (x + 4)

⇥⇥

- x - 2 - y \cdot (x + 4) = 0

⇥⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- y \cdot (x + 4)

- (y x + y \cdot 4)

⇥⇥

- x - 2 - (y x + y \cdot 4) = 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (y x + y \cdot 4)

- y \cdot x - y \cdot 4

⇥⇥

- x

- 2

- y \cdot x

- y \cdot 4 = 0

⇥⇥ⓘ On ajoute

2 + y \cdot 4

aux deux membres

⇥⇥

- x - y x = 2 + y \cdot 4

⇥⇥

(- 1 - y) \cdot x = 2 + y \cdot 4

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

(- 1 - y)

, qui doit être non nul :

y \neq -1

⇥⇥

x = \frac{2 + y \cdot 4}{- 1 - y}

⇥⇥ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 1 - y

- (1 + y)

⇥⇥

x = \frac{2 + y \cdot 4}{- (1 + y)}

⇥⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{2 + y \cdot 4}{- (1 + y)}

- \frac{2 + y \cdot 4}{1 + y}

⇥⇥

x = - \frac{2 + y \cdot 4}{1 + y}

⇥⇥Solution trouvée :

x = - \frac{4 y + 2}{y + 1}

⇥⇥2.2.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

x + 4 \neq 0

⇥⇥Condition de définition :

x \neq -4

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

- \frac{4 x + 2}{x + 1}

, de domaine

x \neq -1

, la condition trouvée en isolant l'entrée

▶Fonction réciproque :

- \frac{4 x + 2}{x + 1}