reciproque de ln(-2x+3) — solution étape par étape

Le domaine de la fonction est

x < \frac{3}{2}

Le logarithme d'une fonction affine non constante est strictement monotone sur son domaine et prend toutes les valeurs réelles

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \ln (- 2 x + 3)

⇥1) Résolvons dans

ℝ

y = \ln (- 2 x + 3)

⇥

\ln (- 2 x + 3) = y

⇥On peut appliquer la fonction exp des deux côtés :

⇥

e^{\ln (- 2 x + 3)} = e^{y}

⇥ⓘ Pour

x

réel,

\ln (\exp (x)) = x

; lorsque

\ln (x)

est défini,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (- 2 x + 3)}

- 2 x + 3

⇥

- 2 x + 3 = e^{y}

⇥ⓘ On regroupe les termes en

x

à droite et les autres à gauche

⇥

3 - e^{y} = 2 x

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = \frac{3 - e^{y}}{2}

⇥2) Évaluons le domaine de

y = \ln (- 2 x + 3)

⇥ Pour que l'expression

\ln (- 2 x + 3)

soit définie, on doit avoir :

- 2 x + 3 > 0

⇥ⓘ On ajoute

2 x

aux deux membres

⇥

3 > 2 x

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥Contraintes liées au domaine :

x < \frac{3}{2}

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{3 - e^{x}}{2}

, de domaine

x \in ℝ

▶Fonction réciproque :

\frac{3 - e^{x}}{2}