reciproque de sqrt(x-1)-4 — solution étape par étape

La fonction est strictement monotone sur

x \geq 1

: elle admet une réciproque sur son image

y \geq -4

On isole la racine :

\sqrt{x - 1} = y + 4

, avec

y \geq -4

. Sous cette condition, mettre au carré donne

x - 1 = {(y + 4)}^{2}

⇥Résolvons dans

ℝ

x - 1 = {(y + 4)}^{2}

⇥ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

⇥

x = {(y + 4)}^{2} + 1

⇥ⓘ Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(y + 4)}^{2}

(y + 4) \cdot (y + 4)

⇥

x = (y + 4) \cdot (y + 4) + 1

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(y + 4) \cdot (y + 4)

y \cdot y

+ y \cdot 4

+ 4 y

+ 4 \cdot 4

⇥

x = y \cdot y

+ y \cdot 4

+ 4 y

+ 4 \cdot 4

+ 1

⇥ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

y \cdot y

y^{2}

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

y \cdot 4 + 4 y

8 y

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

⇥

x = y^{2}

+ 8 y

+ 16

+ 1

⇥ⓘ On part de

16

et on avance de

1

sur la droite des nombres :

16 + 1

17

⇥Solution trouvée :

x = y^{2} + 8 y + 17

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

x^{2} + 8 x + 17

, de domaine

x \geq -4

▶Fonction réciproque :

(x^{2} + 8 x + 17 pour x \geq -4)