reciproque de x/(x-4) — solution étape par étape

1) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

-4

-4

≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \frac{x}{x - 4}

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{x}{x - 4} = y

⇥1.2) Additionnons les fractions :

\frac{x}{x - 4} - y = 0

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{x}{x - 4} - y

\frac{x - y \cdot (x - 4)}{x - 4}

⇥

\frac{x - y \cdot (x - 4)}{x - 4} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥1.2.1) Résolvons dans

ℝ

x - y \cdot (x - 4) = 0

⇥⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- y \cdot (x - 4)

- (y x + y \cdot (-4))

⇥⇥

x - (y x + y \cdot (-4)) = 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (y x + y \cdot (-4))

- y \cdot x - y \cdot (-4)

⇥⇥

x - y \cdot x - y \cdot (-4) = 0

⇥⇥ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- y \cdot (-4)

4 y

⇥⇥

x - y x + 4 y = 0

⇥⇥

x - y x = -4 y

⇥⇥

(1 - y) \cdot x = -4 y

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

(1 - y)

, qui doit être non nul :

y \neq 1

⇥⇥

x = \frac{-4 y}{1 - y}

⇥⇥

x = - \frac{4 y}{1 - y}

⇥⇥ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- \frac{4 y}{1 - y}

\frac{4 y}{- 1 + y}

⇥⇥

x = \frac{4 y}{- 1 + y}

⇥⇥Solution obtenue :

x = \frac{4 y}{y - 1}

⇥⇥1.2.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

x - 4 \neq 0

⇥⇥Condition de définition :

x \neq 4

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{4 x}{x - 1}

, de domaine

x \neq 1

, la condition trouvée en isolant l'entrée

▶Fonction réciproque :

\frac{4 x}{x - 1}