reciproque de y=(3x-1)/(2x+8) — solution étape par étape

1) Pour une fonction

\frac{a x + b}{c x + d}

, deux entrées u et v de même image vérifient

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

après multiplication par les dénominateurs. Ici,

3 \cdot 8 - (-1 \cdot 2)

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≠ 0, donc u = v. La fonction admet ainsi une réciproque sur son image

Exprimons l'entrée

x

en fonction de la sortie

y

y = \frac{3 x - 1}{2 x + 8}

⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\frac{3 x - 1}{2 x + 8} = y

⇥1.2) Additionnons les fractions :

\frac{3 x - 1}{2 x + 8} - y = 0

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{3 x - 1}{2 x + 8} - y

\frac{(3 x - 1) - y \cdot (2 x + 8)}{2 x + 8}

⇥

\frac{(3 x - 1) - y \cdot (2 x + 8)}{2 x + 8} = 0

⇥

\frac{3 x - 1 - y \cdot (2 x + 8)}{2 x + 8} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥1.2.1) Résolvons dans

ℝ

3 x - 1 - y \cdot (2 x + 8) = 0

⇥⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- y \cdot (2 x + 8)

- (y \cdot 2 x + y \cdot 8)

⇥⇥

3 x - 1 - (y \cdot 2 x + y \cdot 8) = 0

⇥⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (y \cdot 2 x + y \cdot 8)

- y \cdot 2 x - y \cdot 8

⇥⇥

3 x

- 1

- y \cdot 2 x

- y \cdot 8 = 0

⇥⇥

3 x - y \cdot 2 x = 1 + y \cdot 8

⇥⇥

(3 - y \cdot 2) \cdot x = 1 + y \cdot 8

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

(3 - y \cdot 2)

, qui doit être non nul :

y \neq \frac{3}{2}

⇥⇥Solution trouvée :

x = \frac{8 y + 1}{3 - 2 y}

⇥⇥1.2.2) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

2 x + 8 \neq 0

⇥⇥

2 x \neq -8

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥⇥

x \neq - \frac{8}{2}

⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{2}

-4

⇥⇥Condition de définition :

x \neq -4

En renommant la sortie en

x

, la réciproque est

\frac{8 x + 1}{3 - 2 x}

, de domaine

x \neq \frac{3}{2}

, la condition trouvée en isolant l'entrée

▶Fonction réciproque :

\frac{8 x + 1}{3 - 2 x}