resous |(2-3x)/(1+x)|>1 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

| \frac{2 - 3 x}{1 + x} | > 1

| A | > B

équivaut à :

A > B

A < - B

2) Résolvons dans

ℝ

\frac{2 - 3 x}{1 + x} > 1

3) Additionnons les fractions :

\frac{2 - 3 x}{1 + x} - 1 > 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2 - 3 x}{1 + x} - 1

\frac{(2 - 3 x) - 1 \cdot (1 + x)}{1 + x}

\frac{(2 - 3 x) - 1 \cdot (1 + x)}{1 + x} > 0

ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot (1 + x)

- (1 + x)

\frac{2 - 3 x - (1 + x)}{1 + x} > 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (1 + x)

- 1 - x

\frac{2 - 3 x - 1 - x}{1 + x} > 0

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 - 1

1

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 3 x - x

-4 x

\frac{1 - 4 x}{1 + x} > 0

On étudie le signe du numérateur

⇥L'expression

1 - 4 x

s'annule en :

⇥

x = \frac{-1}{-4}

⇥ⓘ Les signes moins du numérateur et du dénominateur s'annulent :

\frac{-1}{-4}

\frac{1}{4}

⇥

x = \frac{1}{4}

⇥Son coefficient en

x

-4

, étant négatif, elle est positive avant et négative après

\frac{1}{4}

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥L'expression

1 + x

s'annule en

x = -1

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

4) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-1$		$\frac{1}{4}$		$+∞$
$1 - 4 x$		+		+	0	-
$1 + x$		-	0	+		+
$\frac{2 - 3 x}{1 + x} - 1$		-	❌	+	0	-

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -1; \frac{1}{4} [

5) Résolvons dans

ℝ

\frac{2 - 3 x}{1 + x} < -1

6) Ajoutons les fractions :

\frac{2 - 3 x}{1 + x} + 1 < 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{2 - 3 x}{1 + x} + 1

\frac{(2 - 3 x) + (1 + x)}{1 + x}

\frac{(2 - 3 x) + (1 + x)}{1 + x} < 0

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 1

3

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 3 x + x

-2 x

\frac{3 - 2 x}{1 + x} < 0

On étudie le signe du numérateur

⇥L'expression

3 - 2 x

s'annule en :

⇥

x = \frac{-3}{-2}

⇥ⓘ Les signes moins du numérateur et du dénominateur s'annulent :

\frac{-3}{-2}

\frac{3}{2}

⇥

x = \frac{3}{2}

⇥Son coefficient en

x

-2

, étant négatif, elle est positive avant et négative après

\frac{3}{2}

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥L'expression

1 + x

s'annule en

x = -1

(valeur interdite), elle est négative avant et positive après

7) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-1$		$\frac{3}{2}$		$+∞$
$3 - 2 x$		+		+	0	-
$1 + x$		-	0	+		+
$\frac{2 - 3 x}{1 + x} + 1$		-	❌	+	0	-

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; -1 [\cup] \frac{3}{2}; +∞ [

8) Cherchons le domaine de

| \frac{2 - 3 x}{1 + x} | > 1

Pour que l'expression

\frac{2 - 3 x}{1 + x}

soit définie, on doit avoir :

1 + x \neq 0

ⓘ On soustrait

1

aux deux membres

Contraintes liées au domaine :

x \neq -1

▶Solution :

x \in] -∞; -1 [\cup] -1; \frac{1}{4} [\cup] \frac{3}{2}; +∞ [

9) La valeur numérique de :

x \in] -∞; -1 [\cup] -1; \frac{1}{4} [\cup] \frac{3}{2}; +∞ [

est :

▷

x \in] -∞; -1 [\cup] -1; 0,25 [\cup] 1,5; +∞ [