resous |(x-2)/(3x+5)|<= 4 — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

| \frac{x - 2}{3 x + 5} | \leq 4

| A | \leq B

équivaut à

- B \leq A \leq B

2) Résolvons dans

ℝ

\frac{x - 2}{3 x + 5} \leq 4

3) Ajoutons les fractions :

\frac{x - 2}{3 x + 5} - 4 \leq 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{x - 2}{3 x + 5} - 4

\frac{(x - 2) - 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5}

\frac{(x - 2) - 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \leq 0

\frac{x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \leq 0

On étudie le signe du numérateur

Étudions le signe de

x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)

en résolvant dans

ℝ

x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5) \leq 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- 4 \cdot (3 x + 5)

- (12 x + 20)

x - 2 - (12 x + 20) \leq 0

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (12 x + 20)

- 12 x - 20

x

- 2

- 12 x

- 20 \leq 0

ⓘ On part de

-2

et on recule encore de

20

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 2 - 20

-22

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x - 12 x

-11 x

- 11 x - 22 \leq 0

ⓘ On ajoute

22

aux deux membres

- 11 x \leq 22

On divise les deux membres par

-11

; ce nombre étant négatif, on inverse le sens de l'inégalité

x \geq \frac{22}{-11}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{22}{-11}

- \frac{22}{11}

x \geq - \frac{22}{11}

La fraction :

\frac{22}{11}

se simplifie par le facteur commun :

11

en une nouvelle expression :

2

Candidats, sous réserve du domaine :

x \geq -2

⇥Donc l'expression

x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)

est négative ou nulle sur

[-2; +∞ [

et positive sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥L'expression

3 x + 5

s'annule en :

⇥

x = - \frac{5}{3}

⇥Son coefficient en

x

3

, étant positif, elle est négative avant et positive après

- \frac{5}{3}

(valeur interdite)

4) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$-2$		$- \frac{5}{3}$		$+∞$
$x - 2 - 4 \cdot (3 x + 5)$		+	0	-		-
$3 x + 5$		-		-	0	+
$\frac{x - 2}{3 x + 5} - 4$		-	0	+	❌	-

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; -2] \cup] - \frac{5}{3}; +∞ [

5) Résolvons dans

ℝ

\frac{x - 2}{3 x + 5} \geq -4

6) Ajoutons les fractions :

\frac{x - 2}{3 x + 5} + 4 \geq 0

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{x - 2}{3 x + 5} + 4

\frac{(x - 2) + 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5}

\frac{(x - 2) + 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \geq 0

\frac{x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)}{3 x + 5} \geq 0

On étudie le signe du numérateur

Étudions le signe de

x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)

en résolvant dans

ℝ

x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5) \geq 0

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

4 \cdot (3 x + 5)

12 x + 20

x

- 2

+ 12 x

+ 20 \geq 0

ⓘ On part de

-2

et on avance de

20

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 2 + 20

18

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x + 12 x

13 x

13 x + 18 \geq 0

13 x \geq -18

ⓘ On divise les deux membres par

13

Candidats, sous réserve du domaine :

x \geq - \frac{18}{13}

⇥Donc l'expression

x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)

est positive ou nulle sur

[- \frac{18}{13}; +∞ [

et négative sinon

On étudie le signe du dénominateur, qui ne doit pas s'annuler

⇥L'expression

3 x + 5

s'annule en :

⇥

x = - \frac{5}{3}

⇥Son coefficient en

x

3

, étant positif, elle est négative avant et positive après

- \frac{5}{3}

(valeur interdite)

7) Dressons le tableau de signes :

x	$-∞$		$- \frac{5}{3}$		$- \frac{18}{13}$		$+∞$
$x - 2 + 4 \cdot (3 x + 5)$		-		-	0	+
$3 x + 5$		-	0	+		+
$\frac{x - 2}{3 x + 5} + 4$		+	❌	-	0	+

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; - \frac{5}{3} [\cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

Agrégeons les différents solutions pour trouver la solution globale :

$x$	$-∞$		$-2$		$- \frac{5}{3}$		$- \frac{18}{13}$		$+∞$
$\frac{x - 2}{3 x + 5} \geq -4$		✅	✅	✅	❌	❌	✅	✅
$\frac{x - 2}{3 x + 5} \leq 4$		✅	✅	❌	❌	✅	✅	✅
Solution globale		✅	✅	❌	❌	❌	✅	✅

Candidats, sous réserve du domaine :

x \in] -∞; -2] \cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

8) Évaluons le domaine de

| \frac{x - 2}{3 x + 5} | \leq 4

Pour que l'expression

\frac{x - 2}{3 x + 5}

existe, on doit vérifier :

3 x + 5 \neq 0

ⓘ On soustrait

5

aux deux membres

3 x \neq -5

ⓘ On divise les deux membres par

3

Contraintes liées au domaine :

x \neq - \frac{5}{3}

▶Solution :

x \in] -∞; -2] \cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

9) La valeur numérique de :

x \in] -∞; -2] \cup [- \frac{18}{13}; +∞ [

est :

▷

x \in] -∞; -2] \cup [\approx -1,3846; +∞ [