resous dy/dx=x*sqrt(x^2-1)/y — solution étape par étape

1) Résolvons l'équation séparable

y' = x \cdot \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{y}

, où

y

est une fonction de

x

y

≠ 0

⇥1.1) Cherchons le domaine de

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

⇥ Pour que l'expression

\sqrt{x^{2} - 1}

existe, on doit vérifier :

x^{2} - 1 >= 0

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

⇥

Δ = 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

⇥

Δ = - 4 \cdot (-1)

⇥

Δ = 4

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux solutions :

⇥Solution première :

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

⇥

x1 = - \frac{\sqrt{4}}{2}

⇥

x1 = - \frac{2}{2}

⇥

x1 = -1

⇥La deuxième solution est :

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

⇥

x2 = \frac{\sqrt{4}}{2}

⇥

x2 = \frac{2}{2}

⇥

x2 = 1

⇥Solution obtenue :

x \in] -∞, -1] \cup [1, +∞ [

On multiplie par

y

et on sépare les variables :

y

y

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

x

⇥1.2) Intégrons :

\int(x \cdot \sqrt{x^{2} - 1})dx

⇥Pour l'expression mathématique :

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

, en utilisant la formule de dérivation suivante :

\frac{d}{d x} (a^{n}) = n a^{(n - 1)}

, on peut tenter de dériver avec ^(m+1)

⇥1.3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{(\frac{1}{2} + 1)})

⇥

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{(\frac{1 + 2}{2})})

⇥

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})

⇥On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{(n - 1)}

avec f =

x^{2} - 1

⇥

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot {(x^{2} - 1)}^{(\frac{3}{2} - 1)}

⇥ℹ

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot {(x^{2} - 1)}^{(\frac{3}{2} - 1)}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot {(x^{2} - 1)}^{(\frac{3}{2} - 1)}}{2}

‖

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

‖

\frac{3}{2} - 1

\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}

⇥

\frac{3 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} - 1)}^{(\frac{3 - 1 \cdot 2}{2})}}{2}

⇥ℹ

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

‖

-1 \cdot 2

-2

⇥

\frac{3 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{(\frac{3 - 2}{2})}}{2}

⇥ℹ

3 \cdot 2

6

‖

3 - 2

1

⇥

\frac{6 x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}{2}

⇥

3 x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

⇥La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

⇥

\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}

⇥

\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}

En intégrant les deux membres, on obtient

\frac{y^{2}}{2} = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

, où

C

est une constante réelle arbitraire

On multiplie par 2 et on renomme 2*

C

C

y^{2} = \frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

Les deux branches réelles ont un signe fixe sur chaque intervalle où le membre droit initial est réel et

\frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C

> 0 ;

y

= 0 est exclu

▶Solution :

y = {- \sqrt{\frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C}, \sqrt{\frac{2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C}}