resous sqrt(x) + 1 = y pour x — solution étape par étape

1) Résolvons dans

ℝ

\sqrt{x} + 1 = y

On isole la racine :

\sqrt{x} = y - 1

. Comme par convention la racine carrée d'un nombre est toujours positive ou nulle, élevons les deux membres au carré, à condition que

y - 1 \geq 0

x = {(y - 1)}^{2}

ⓘ On soustrait

0

aux deux membres■Élever une somme à une puissance entière, c'est la multiplier par elle-même :

{(y - 1)}^{2}

(y - 1) \cdot (y - 1)

x = (y - 1) \cdot (y - 1)

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(y - 1) \cdot (y - 1)

y \cdot y

+ y \cdot (-1)

- 1 \cdot y

- 1 \cdot (-1)

x = y \cdot y

+ y \cdot (-1)

- 1 \cdot y

- 1 \cdot (-1)

ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

y \cdot y

y^{2}

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

y \cdot (-1)

- y

■Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot y

y

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-1 \cdot (-1)

1

x = y^{2}

- y

- y

+ 1

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- y - y

-2 y

Candidats, sous réserve du domaine :

x = y^{2} - 2 y + 1

2) Résolvons en y :

y - 1 \geq 0

ⓘ On ajoute

1

aux deux membres

Candidats, sous réserve du domaine :

y \geq 1

Pour que l'expression

\sqrt{x}

existe, on doit vérifier :

x \geq 0

Contraintes liées au domaine :

x \geq 0

▶Solution :

{x = y^{2} - 2 y + 1; y \geq 1}