simplifie (1+3i)/(3+i) — solution étape par étape

1) Réduisons :

\frac{1 + 3 i}{3 + i}

ⓘ Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, car (a+bi)(a-bi) = a²+b² :

\frac{1 + 3 i}{3 + i}

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{3^{2} + 1}

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{3^{2} + 1}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \times 3

9

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{9 + 1}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

9 + 1

10

\frac{(1 + 3 i) \times (3 - i)}{10}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(1 + 3 i) \times (3 - i)

1 \times 3

+ 1 \times (- i)

+ 3 \times i \times 3

+ 3 \times i \times (- i)

\frac{1 \times 3 + 1 \times (- i) + 3 \times i \times 3 + 3 \times i \times (- i)}{10}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \times 3

9

■On place le signe moins devant le produit :

3 \times (- i)

-3 i

\frac{3 - i + 9 i - 3 \times i \times i}{10}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- i + 9 i

8 i

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

i \times i

i^{2}

\frac{3 + 8 i - 3 i^{2}}{10}

ⓘ i^2 = -1, donc les puissances de i se ramènent à 1, i, -1 ou -i :

i^{2}

-1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- 3 \times (-1)

3

\frac{3 + 8 i + 3}{10}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 + 3

6

\frac{6 + 8 i}{10}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{6 + 8 i}{10}

\frac{3 + 4 i}{5}

\frac{3 + 4 i}{5}

ⓘ Un nombre complexe s'écrit sous forme algébrique a + b*i, a étant sa partie réelle et b sa partie imaginaire :

\frac{3 + 4 i}{5}

\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times i

▶Forme simplifiée :

\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times i

2) La valeur numérique de :

\frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times i

vaut :

▷

0,6 + 0,8 i