simplifie (1+5i)/(5-i) — solution étape par étape

Simplifions :

\frac{1 + 5 i}{5 - i}

ⓘ Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, car (a+bi)(a-bi) = a²+b² :

\frac{1 + 5 i}{5 - i}

\frac{(1 + 5 i) \times (5 + i)}{5^{2} + {(-1)}^{2}}

\frac{(1 + 5 i) \times (5 + i)}{5^{2} + {(-1)}^{2}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

5^{2}

5 \times 5

25

{(-1)}^{2}

(-1) \times (-1)

1

\frac{(1 + 5 i) \times (5 + i)}{25 + 1}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

25 + 1

26

\frac{(1 + 5 i) \times (5 + i)}{26}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(1 + 5 i) \times (5 + i)

1 \times 5

+ 1 \times i

+ 5 \times i \times 5

+ 5 \times i \times i

\frac{1 \times 5 + 1 \times i + 5 \times i \times 5 + 5 \times i \times i}{26}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \times 5

25

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

i \times i

i^{2}

\frac{5 + i + 25 i + 5 i^{2}}{26}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

i + 25 i

26 i

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

5 \times (-1)

-5

■i^2 = -1, donc les puissances de i se ramènent à 1, i, -1 ou -i :

i^{2}

-1

\frac{5 + 26 i - 5}{26}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 - 5

0

\frac{0 + 26 i}{26}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 26 i

26 i

■On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{26 i}{26}

i

▶Forme simplifiée :

i