simplifie (2+9i)/(-3-i) — solution étape par étape

1) Simplifions :

\frac{2 + 9 i}{- 3 - i}

ⓘ Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, car (a+bi)(a-bi) = a²+b² :

\frac{2 + 9 i}{- 3 - i}

\frac{(2 + 9 i) \times (- 3 + i)}{{(-3)}^{2} + {(-1)}^{2}}

\frac{(2 + 9 i) \times (- 3 + i)}{{(-3)}^{2} + {(-1)}^{2}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-3)}^{2}

(-3) \times (-3)

9

{(-1)}^{2}

(-1) \times (-1)

1

\frac{(2 + 9 i) \times (- 3 + i)}{9 + 1}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

9 + 1

10

\frac{(2 + 9 i) \times (- 3 + i)}{10}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(2 + 9 i) \times (- 3 + i)

2 \times (-3)

+ 2 i

+ 9 i \times (-3)

+ 9 \times i \times i

\frac{2 \times (-3) + 2 i + 9 i \times (-3) + 9 \times i \times i}{10}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \times (-3)

-6

9 \times (-3)

-27

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

i \times i

i^{2}

\frac{- 6 + 2 i - 27 i + 9 i^{2}}{10}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 i - 27 i

-25 i

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

9 \times (-1)

-9

■i^2 = -1, donc les puissances de i se ramènent à 1, i, -1 ou -i :

i^{2}

-1

\frac{- 6 - 25 i - 9}{10}

ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 6 - 25 i - 9

- (6 + 25 i + 9)

- \frac{6 + 25 i + 9}{10}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

6 + 9

15

- \frac{15 + 25 i}{10}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{15 + 25 i}{10}

- \frac{3 + 5 i}{2}

- \frac{3 + 5 i}{2}

ⓘ Un nombre complexe s'écrit sous forme algébrique a + b*i, a étant sa partie réelle et b sa partie imaginaire :

- \frac{3 + 5 i}{2}

- \frac{3}{2} - \frac{5}{2} \times i

▶Forme simplifiée :

- \frac{3}{2} - \frac{5}{2} \times i

2) La valeur numérique de :

- \frac{3}{2} - \frac{5}{2} \times i

vaut :

▷

- 1,5 - 2,5 i