simplifie (3+i)/(4+i) — solution étape par étape

1) Simplifions :

\frac{3 + i}{4 + i}

ⓘ Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, car (a+bi)(a-bi) = a²+b² :

\frac{3 + i}{4 + i}

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{4^{2} + 1}

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{4^{2} + 1}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{2}

4 \times 4

16

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{16 + 1}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

16 + 1

17

\frac{(3 + i) \times (4 - i)}{17}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(3 + i) \times (4 - i)

3 \times 4

+ 3 \times (- i)

+ i \times 4

+ i \times (- i)

\frac{3 \times 4 + 3 \times (- i) + i \times 4 + i \times (- i)}{17}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \times 4

12

■On place le signe moins devant le produit :

3 \times (- i)

- 3 i

i \times (- i)

- i \times i

\frac{12 - 3 i + i \times 4 - i \times i}{17}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 3 i + i \times 4

i

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

i \times i

i^{2}

\frac{12 + i - i^{2}}{17}

ⓘ i^2 = -1, donc les puissances de i se ramènent à 1, i, -1 ou -i :

- i^{2}

- (-1)

\frac{12 + i - (-1)}{17}

ⓘ Soustraire un nombre négatif revient à l'ajouter, deux signes moins font un plus :

- (-1)

1

\frac{12 + i + 1}{17}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 + 1

13

\frac{13 + i}{17}

ⓘ Un nombre complexe s'écrit sous forme algébrique a + b*i, a étant sa partie réelle et b sa partie imaginaire :

\frac{13 + i}{17}

\frac{13}{17} + \frac{1}{17} \times i

▶Forme simplifiée :

\frac{13}{17} + \frac{1}{17} \times i

2) La valeur numérique de :

\frac{13}{17} + \frac{1}{17} \times i

vaut :

▷

\approx 0,7647 + \approx 5,8824 \times 10^{- 2} \times i