simplifie (4+5i)/(4+6i) — solution étape par étape

1) Réduisons :

\frac{4 + 5 i}{4 + 6 i}

ⓘ Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, car (a+bi)(a-bi) = a²+b² :

\frac{4 + 5 i}{4 + 6 i}

\frac{(4 + 5 i) \times (4 - 6 i)}{4^{2} + 6^{2}}

\frac{(4 + 5 i) \times (4 - 6 i)}{4^{2} + 6^{2}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{2}

4 \times 4

16

6^{2}

6 \times 6

36

\frac{(4 + 5 i) \times (4 - 6 i)}{16 + 36}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

16 + 36

52

\frac{(4 + 5 i) \times (4 - 6 i)}{52}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{(4 + 5 i) \times (4 - 6 i)}{52}

\frac{(4 + 5 i) \times (2 - 3 i)}{26}

\frac{(4 + 5 i) \times (2 - 3 i)}{26}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(4 + 5 i) \times (2 - 3 i)

4 \times 2

+ 4 \times (-3) i

+ 5 i \times 2

+ 5 \times i \times (-3) \times i

\frac{4 \times 2 + 4 \times (-3) i + 5 i \times 2 + 5 \times i \times (-3) \times i}{26}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \times 2

8

5 \times 2

10

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

4 \times (-3)

-12

5 \times (-3)

-15

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

i \times i

i^{2}

\frac{8 - 12 i + 10 i - 15 i^{2}}{26}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 12 i + 10 i

-2 i

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- 15 \times (-1)

15

■i^2 = -1, donc les puissances de i se ramènent à 1, i, -1 ou -i :

i^{2}

-1

\frac{8 - 2 i + 15}{26}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

8 + 15

23

\frac{23 - 2 i}{26}

ⓘ Un nombre complexe s'écrit sous forme algébrique a + b*i, a étant sa partie réelle et b sa partie imaginaire :

\frac{23 - 2 i}{26}

\frac{23}{26} - \frac{1}{13} \times i

▶Forme simplifiée :

\frac{23}{26} - \frac{1}{13} \times i

2) La valeur numérique de :

\frac{23}{26} - \frac{1}{13} \times i

vaut :

▷

\approx 0,8846 - \approx 7,6923 \times 10^{- 2} \times i