simplifie (5+i)/i+(3-4i)/(1-i) — solution étape par étape

1) Réduisons :

\frac{5 + i}{i} + \frac{3 - 4 i}{1 - i}

ⓘ Pour enlever i du dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par i, car i*i = -1 :

\frac{5 + i}{i}

- i \times (5 + i)

■Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, car (a+bi)(a-bi) = a²+b² :

\frac{3 - 4 i}{1 - i}

\frac{(3 - 4 i) \times (1 + i)}{1 + {(-1)}^{2}}

- i \times (5 + i) + \frac{(3 - 4 i) \times (1 + i)}{1 + {(-1)}^{2}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \times (-1)

1

- i \times (5 + i) + \frac{(3 - 4 i) \times (1 + i)}{1 + 1}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 1

2

- i \times (5 + i) + \frac{(3 - 4 i) \times (1 + i)}{2}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- i \times (5 + i)

- (i \times 5 + i^{2})

(3 - 4 i) \times (1 + i)

3 \times 1

+ 3 i

- 4 i \times 1

- 4 \times i \times i

- (i \times 5 + i^{2}) + \frac{3 \times 1 + 3 i - 4 i \times 1 - 4 \times i \times i}{2}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (i \times 5 + i^{2})

- i \times 5 - i^{2}

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

i \times i

i^{2}

- i \times 5 - i^{2} + \frac{3 + 3 i - 4 i - 4 i^{2}}{2}

ⓘ i^2 = -1, donc les puissances de i se ramènent à 1, i, -1 ou -i :

- i^{2}

- (-1)

i^{2}

-1

■On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

3 i - 4 i

- i

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- 4 \times (-1)

4

- i \times 5 - (-1) + \frac{3 - i + 4}{2}

ⓘ Soustraire un nombre négatif revient à l'ajouter, deux signes moins font un plus :

- (-1)

1

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 + 4

7

- i \times 5 + 1 + \frac{7 - i}{2}

ⅰ

- i \times 5 + \frac{7 - i}{2}

\frac{2 \times (- i \times 5) + (7 - i)}{2}

\frac{2 \times (- i \times 5) + (7 - i)}{2} + 1

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \times 5

10

■On place le signe moins devant le produit :

10 \times (- i)

- 10 i

\frac{- 10 i + 7 - i}{2} + 1

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 10 i - i

-11 i

\frac{- 11 i + 7}{2} + 1

ⅰ

\frac{- 11 i + 7}{2} + 1

\frac{(- 11 i + 7) + 2}{2}

\frac{(- 11 i + 7) + 2}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

7 + 2

9

\frac{- 11 i + 9}{2}

▶Forme simplifiée :

\frac{9 - 11 i}{2}

2) La valeur numérique de :

\frac{9 - 11 i}{2}

vaut :

\frac{9}{2} - \frac{11}{2} \times i

▷

4,5 - 5,5 i