simplifie (a^2-1)/(a^2+2a-3) — solution étape par étape

Les dénominateurs initiaux doivent être non nuls :

a \in ℝ \ {-3; 1}

1) Simplifions :

\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a - 3}

2) Mettons en facteurs dans

ℝ

a^{2} - 1

Pour

a^{2} - 1

, on reconnaît une différence de deux carrés :

a^{2} - 1^{2}

. On applique

A^{2} - B^{2} = (A - B) \cdot (A + B)

, avec

A = a

B = 1

Facteurs identifiés :

(a + 1) \cdot (a - 1)

3) Mettons en facteurs dans

ℝ

a^{2} + 2 a - 3

Étant donné la forme quadratique

A a^{2} + B a + C

, calculons le discriminant :

Δ = B^{2} - 4 A C

. Ici

A = 1

B = 2

C = -3

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

Δ = 4 - 4 \cdot (-3)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-3)

12

Δ = 4 + 12

ⓘ On part de

4

et on avance de

12

sur la droite des nombres :

4 + 12

16

Δ = 16

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

a_{1}

\frac{- B - \sqrt{Δ}}{2 A}

\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}

a_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

a_{1} = \frac{- 2 - 4}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 2 - 4

-6

a_{1} = - \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{2}

-3

a_{1} = -3