simplifie (m^2)/(m^2-4)+1/(2-m)

Les dénominateurs initiaux doivent être non nuls :

m \in ℝ \ {-2; 2}

1) Ajoutons les fractions :

\frac{m^{2}}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{m^{2}}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}

\frac{m^{2} \cdot (2 - m) + (m^{2} - 4)}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

\frac{m^{2} \cdot (2 - m) + (m^{2} - 4)}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{m^{2} \cdot (2 - m) + m^{2} - 4}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

\frac{(- m + 2) \cdot (m^{2} - 1 \cdot (2 + m))}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

\frac{(- m + 2) \cdot (m^{2} - 1 \cdot (2 + m))}{(m^{2} - 4) \cdot (2 - m)}

À l'aide de la formule :

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, on simplifie la fraction :

\frac{- m + 2}{m^{2} - 4}

par le facteur commun :

- m + 2

pour obtenir la nouvelle fraction :

\frac{1}{- m - 2}

\frac{m^{2} - 1 \cdot (2 + m)}{(- m - 2) \cdot (2 - m)}

ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot (2 + m)

- (2 + m)

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- m - 2

- (m + 2)

\frac{m^{2} - (2 + m)}{- (m + 2) \cdot (2 - m)}

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 + m)

- 2 - m

\frac{m^{2} - 2 - m}{- (m + 2) \cdot (2 - m)}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{m^{2} - 2 - m}{- (m + 2) \cdot (2 - m)}

- \frac{m^{2} - 2 - m}{(m + 2) \cdot (2 - m)}

- \frac{m^{2} - 2 - m}{(m + 2) \cdot (2 - m)}

2) Mettons en facteurs dans

ℝ

m^{2} - 2 - m

Étant donné la forme quadratique

a m^{2} + b m + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -2

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

Δ = 9

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

m_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

m_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

m_{1} = \frac{1 - 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 3

-2

m_{1} = - \frac{2}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

m_{1} = -1

La formule du second degré donne

m_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

m_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

m_{2} = \frac{1 + 3}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 3

4

m_{2} = \frac{4}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

m_{2} = 2

Facteurs trouvés :

(m + 1) \cdot (m - 2)

On simplifie la fraction :

\frac{m - 2}{2 - m}

par le facteur commun :

m - 2

pour obtenir la nouvelle expression :

-1

- \frac{m + 1}{(m + 2) \cdot (-1)}

ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

(m + 2) \cdot (-1)

- (m + 2)

- \frac{m + 1}{- (m + 2)}

ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- \frac{m + 1}{- (m + 2)}

\frac{m + 1}{m + 2}

▶Résultat :

\frac{m + 1}{m + 2}