simplifie (m^2-2m+1)/(2m^2-m-1)

Les dénominateurs initiaux doivent être non nuls :

m \in ℝ \ {- \frac{1}{2}; 1}

1) Simplifions :

\frac{m^{2} - 2 m + 1}{2 m^{2} - m - 1}

2) Mettons en facteurs dans

ℝ

m^{2} - 2 m + 1

On peut transformer l'expression en :

{(m - 1)}^{2}

3) Mettons en facteurs dans

ℝ

2 m^{2} - m - 1

Étant donné la forme quadratique

a m^{2} + b m + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 2

b = -1

c = -1

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-1)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- 8 \cdot (-1)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

Δ = 9

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

m_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

m_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

ⅰ

2 \cdot 2

4

m_{1} = \frac{1 - 3}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 3

-2

m_{1} = - \frac{2}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

m_{1} = - \frac{1}{2}

La formule du second degré donne

m_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

m_{2} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

ⅰ

2 \cdot 2

4

m_{2} = \frac{1 + 3}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 3

4

m_{2} = \frac{4}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{4}

1

m_{2} = 1

Un trinôme de racines

m_{1}

m_{2}

s'écrit

a \cdot (m - m_{1}) \cdot (m - m_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

2 \cdot (m - 1) \cdot (m + \frac{1}{2})

(m - 1) \cdot (2 m + 1)

Facteurs trouvés :

(m - 1) \cdot (2 m + 1)

On simplifie la fraction :

\frac{{(m - 1)}^{2}}{m - 1}

par le facteur commun :

m - 1

pour obtenir la nouvelle expression :

m - 1

▶Forme simplifiée :

\frac{m - 1}{2 m + 1}