simplifie (n^2-n-12)/(n^2-4n) — solution étape par étape

Les dénominateurs initiaux doivent être non nuls :

n \in ℝ \ {0; 4}

1) Simplifions :

\frac{n^{2} - n - 12}{n^{2} - 4 n}

2) Factorisons dans

ℝ

n^{2} - n - 12

Vu la forme quadratique

a n^{2} + b n + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -12

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-12)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-12)

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

Δ = 1 + 48

ⓘ On part de

1

et on avance de

48

sur la droite des nombres :

1 + 48

49

Δ = 49

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

n_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

n_{1} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

n_{1} = \frac{1 - 7}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 7

-6

n_{1} = - \frac{6}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{2}

-3

n_{1} = -3

La formule du second degré donne

n_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

n_{2} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

n_{2} = \frac{1 + 7}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 7

8

n_{2} = \frac{8}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

n_{2} = 4

Facteurs identifiés :

(n + 3) \cdot (n - 4)

3) Mettons en facteurs dans

ℝ

n^{2} - 4 n

On peut mettre l'expression sous forme factorisée :

n \cdot (n - 4)

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

\frac{n^{2} - n - 12}{n^{2} - 4 n}

\frac{n + 3}{n}

\frac{n + 3}{n}

ⅰ

\frac{n + 3}{n}

1 + \frac{3}{n}

1 + \frac{3}{n}

▶Forme simplifiée :

\frac{3}{n} + 1