simplifie ((2+3i))/((3+4i)) — solution étape par étape

Réduisons :

\frac{2 + 3 i}{3 + 4 i}

ⓘ Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, car (a+bi)(a-bi) = a²+b² :

\frac{2 + 3 i}{3 + 4 i}

\frac{(2 + 3 i) \times (3 - 4 i)}{3^{2} + 4^{2}}

\frac{(2 + 3 i) \times (3 - 4 i)}{3^{2} + 4^{2}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \times 3

9

4^{2}

4 \times 4

16

\frac{(2 + 3 i) \times (3 - 4 i)}{9 + 16}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

9 + 16

25

\frac{(2 + 3 i) \times (3 - 4 i)}{25}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(2 + 3 i) \times (3 - 4 i)

2 \times 3

+ 2 \times (-4) i

+ 3 \times i \times 3

+ 3 \times i \times (-4) \times i

\frac{2 \times 3 + 2 \times (-4) i + 3 \times i \times 3 + 3 \times i \times (-4) \times i}{25}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \times 3

6

3 \times 3

9

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \times (-4)

-8

3 \times (-4)

-12

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

i \times i

i^{2}

\frac{6 - 8 i + 9 i - 12 i^{2}}{25}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 8 i + 9 i

i

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- 12 \times (-1)

12

■i^2 = -1, donc les puissances de i se ramènent à 1, i, -1 ou -i :

i^{2}

-1

\frac{6 + i + 12}{25}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

6 + 12

18

\frac{18 + i}{25}

ⓘ Un nombre complexe s'écrit sous forme algébrique a + b*i, a étant sa partie réelle et b sa partie imaginaire :

\frac{18 + i}{25}

\frac{18}{25} + \frac{1}{25} \times i

▶Forme simplifiée :

\frac{18}{25} + \frac{1}{25} \times i

La valeur numérique de :

\frac{18}{25} + \frac{1}{25} \times i

est :

▷

0,72 + 0,04 i