simplifie ((3+4i))/(1+2i) — solution étape par étape

Simplifions :

\frac{3 + 4 i}{1 + 2 i}

ⓘ Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, car (a+bi)(a-bi) = a²+b² :

\frac{3 + 4 i}{1 + 2 i}

\frac{(3 + 4 i) \times (1 - 2 i)}{1 + 2^{2}}

\frac{(3 + 4 i) \times (1 - 2 i)}{1 + 2^{2}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \times 2

4

\frac{(3 + 4 i) \times (1 - 2 i)}{1 + 4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 4

5

\frac{(3 + 4 i) \times (1 - 2 i)}{5}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(3 + 4 i) \times (1 - 2 i)

3 \times 1

+ 3 \times (-2) i

+ 4 i \times 1

+ 4 \times i \times (-2) \times i

\frac{3 \times 1 + 3 \times (-2) i + 4 i \times 1 + 4 \times i \times (-2) \times i}{5}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

3 \times (-2)

-6

4 \times (-2)

-8

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

i \times i

i^{2}

\frac{3 - 6 i + 4 i - 8 i^{2}}{5}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 6 i + 4 i

-2 i

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- 8 \times (-1)

8

■i^2 = -1, donc les puissances de i se ramènent à 1, i, -1 ou -i :

i^{2}

-1

\frac{3 - 2 i + 8}{5}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 + 8

11

\frac{11 - 2 i}{5}

ⓘ Un nombre complexe s'écrit sous forme algébrique a + b*i, a étant sa partie réelle et b sa partie imaginaire :

\frac{11 - 2 i}{5}

\frac{11}{5} - \frac{2}{5} \times i

▶Forme simplifiée :

\frac{11}{5} - \frac{2}{5} \times i

La valeur numérique de :

\frac{11}{5} - \frac{2}{5} \times i

est :

▷

2,2 - 0,4 i