simplifie ((4-i))/((3+4i)) — solution étape par étape

1) Simplifions :

\frac{4 - i}{3 + 4 i}

ⓘ Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué, car (a+bi)(a-bi) = a²+b² :

\frac{4 - i}{3 + 4 i}

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{3^{2} + 4^{2}}

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{3^{2} + 4^{2}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \times 3

9

4^{2}

4 \times 4

16

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{9 + 16}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

9 + 16

25

\frac{(4 - i) \times (3 - 4 i)}{25}

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(4 - i) \times (3 - 4 i)

4 \times 3

+ 4 \times (-4) \times i

- i \times 3

- i \times (-4) \times i

\frac{4 \times 3 + 4 \times (-4) \times i - i \times 3 - i \times (-4) \times i}{25}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \times 3

12

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

4 \times (-4)

-16

■Deux signes moins s'annulent :

- i \times (-4)

4 i

\frac{12 - 16 i - i \times 3 + 4 \times i \times i}{25}

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- 16 i - i \times 3

-19 i

■Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

i \times i

i^{2}

\frac{12 - 19 i + 4 i^{2}}{25}

ⓘ i^2 = -1, donc les puissances de i se ramènent à 1, i, -1 ou -i :

i^{2}

-1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

4 \times (-1)

-4

\frac{12 - 19 i - 4}{25}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 - 4

8

\frac{8 - 19 i}{25}

ⓘ Un nombre complexe s'écrit sous forme algébrique a + b*i, a étant sa partie réelle et b sa partie imaginaire :

\frac{8 - 19 i}{25}

\frac{8}{25} - \frac{19}{25} \times i

▶Forme simplifiée :

\frac{8}{25} - \frac{19}{25} \times i

2) La valeur numérique de :

\frac{8}{25} - \frac{19}{25} \times i

est :

▷

0,32 - 0,76 i