somme de 8/(n^2-1) pour n allant de 4 vers +inf

1) Calculons :

\sum_{n = 4}^{+∞} \frac{8}{n^{2} - 1}

⇥1.1) Mettons en facteurs dans

ℝ

n^{2} - 1

⇥Facteurs trouvés :

(n + 1) \cdot (n - 1)

⇥1.2) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

⇥

\frac{8}{(n + 1) \cdot (n - 1)} = \frac{A}{n + 1} + \frac{B}{n - 1}

⇥Pour le facteur simple :

n + 1

et sa racine :

-1

, on calcule A en multipliant par le dénominateur :

n^{2} - 1

puis en évaluant à la racine (les autres termes s'annulent) :

⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

(- 1 - 1) \cdot A = 8

⇥

- 2 A = 8

⇥

A = \frac{8}{-2}

⇥

A = - \frac{8}{2}

⇥Solution trouvée :

A = -4

⇥Pour le facteur simple :

n - 1

et sa racine :

1

, on peut facilement calculer l'inconnue B en multipliant par le dénominateur :

n^{2} - 1

et en évaluant à la racine car les autres termes s'annulent :

⇥1.4) Résolvons dans

ℝ

(1 + 1) \cdot B = 8

⇥

2 B = 8

⇥

B = \frac{8}{2}

⇥Solution obtenue :

B = 4

⇥1.5) Pour finir, on remplace les inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

La décomposition donne :

\frac{8}{n^{2} - 1} = \frac{4}{n - 1} - \frac{4}{n + 1}

2) On sépare la somme finie jusqu'à

N

\sum_{n = 4}^{N} \frac{8}{n^{2} - 1} = \sum_{n = 4}^{N} \frac{4}{n - 1} - \sum_{n = 4}^{N} \frac{4}{n + 1}

On pose

k = n - 1

pour le dénominateur

n - 1

k = n + 1

pour le dénominateur

n + 1

\sum_{k = 3}^{N - 1} \frac{4}{k} - \sum_{k = 5}^{N + 1} \frac{4}{k}

Pour

N >= 6

, on isole les termes aux extrémités :

(\frac{4}{3} + \frac{4}{4} + \sum_{k = 5}^{N - 1} \frac{4}{k}) - (\sum_{k = 5}^{N - 1} \frac{4}{k} + \frac{4}{N} + \frac{4}{N + 1})

Les deux sommes de

5

N - 1

sont identiques et s'annulent :

\frac{4}{3}

+ \frac{4}{4}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

3) On prend maintenant la limite quand

N \to +∞

⇥3.1) Premièrement, réduisons :

\frac{4}{3}

+ \frac{4}{4}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

⇥

\frac{4 \cdot 4 + 4 \cdot 3}{3 \cdot 4} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

⇥ℹ

4 \cdot 4

16

‖

4 \cdot 3

12

‖

3 \cdot 4

12

⇥

\frac{16 + 12}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

⇥

\frac{28}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

⇥3.2) Calculons la limite de

\frac{28}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

lorsque

N \to +∞

⇥La limite de

- \frac{4}{N}

est

0

⁻ quand

N \to +∞

⇥ La limite de

N + 1

est

+∞

quand

N \to +∞

⇥La limite de

- \frac{4}{N + 1}

est

0

⁻ quand

N \to +∞

⇥Donc la limite de

\frac{28}{12} - \frac{4}{N} - \frac{4}{N + 1}

est

\frac{28}{12}

quand

N \to +∞

⇥3.3) Calculons :

\frac{28}{12}

▶Résultat :

\frac{7}{3}

4) La valeur numérique de :

\frac{7}{3}

vaut :

▷

\approx 2.3333