sqrt(x)(dy)/(dx)=e^{7y+sqrt(x)}

⚠ sqrt(x)(dy)/(dx)=e^{7y+sqrt(x)} est lu comme sqrt(x)*y'=e^(7y+sqrt(x)) : utilisez dif(expression, variable) pour une dérivée par rapport à cette variable, utilisez (numérateur)/(dénominateur) pour un quotient, utilisez * pour une multiplication, utilisez ^ pour une puissance, utilisez ^(...) pour grouper un exposant

1) Résolvons l'équation séparable

\sqrt{x} \cdot y' = e^{7 y + \sqrt{x}}

, où

y

est une fonction de

x

Là où

\sqrt{x} \neq 0

, on divise par

\sqrt{x}

pour isoler

y'

y' = \frac{e^{7 y + \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

⇥1.1) Évaluons le domaine de

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

⇥ Pour que l'expression

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

soit définie, on doit avoir :

x > 0

⇥Solution obtenue :

x > 0

La fonction de

x

est définie pour

x > 0

ⓘ L'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles :

e^{7 y + \sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}} e^{7 y}

Le membre droit est le produit de

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

, qui ne dépend que de

x

, et de

e^{7 y}

, qui ne dépend que de

y

e^{7 y}

ne s'annule pas : on sépare les variables,

\frac{dy}{e^{7 y}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \cdot dx

⇥1.2) Calculons l'intégrale :

\int \frac{1}{e^{7 y}} d y

⇥Pour l'expression mathématique :

\frac{1}{e^{7 y}}

, sachant que (1/a^n)' = -(n*ln(a))'/a^n, on tente de dériver

\frac{1}{e^{7 y}}

⇥1.3) Dérivons :

\frac{d}{d y} (\frac{1}{e^{7 y}})

⇥Pour

p3

1

q4

e^{7 y}

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d y} (\frac{p3}{q4}) = \frac{\frac{d}{d y} (p3) \cdot q4 - p3 \cdot \frac{d}{d y} (q4)}{{q4}^{2}}

⇥1.4) Dérivons

p3

\frac{d}{d y} (1)

⇥ⓘ La dérivée d'une constante est nulle :

\frac{d}{d y} (1)

0

⇥

0

⇥1.5) Dérivons

q4

\frac{d}{d y} (e^{7 y})

⇥On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d y} (\exp (f)) = \frac{d}{d y} (f) \cdot \exp (f)

avec f =

7 y

⇥ⓘ La dérivée de exp(x) est exp(x) :

\frac{d}{d y} (e^{7 y})

\frac{d}{d y} (7 y) \cdot e^{7 y}

⇥

\frac{d}{d y} (7 y) \cdot e^{7 y}

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d y} (7 y)

7

⇥

7 e^{7 y}

⇥1.6) Évaluons la dérivée obtenue (

\frac{p3}{q4}

)' :

\frac{0 \cdot e^{7 y} - 1 \cdot 7 e^{7 y}}{{(e^{7 y})}^{2}}

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot e^{7 y}

0

■Une puissance de puissance multiplie les exposants, (a^n)^m = a^(n*m) :

{(e^{7 y})}^{2}

e^{7 y \cdot 2}

⇥

\frac{0 - 7 e^{7 y}}{e^{7 y \cdot 2}}

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 7 e^{7 y}

- 7 e^{7 y}

⇥ⅰ

7 \cdot 2

14

⇥

- \frac{7 e^{7 y}}{e^{14 y}}

⇥ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

- \frac{7 e^{7 y}}{e^{14 y}}

-7 e^{7 y - 14 y}

⇥

-7 e^{7 y - 14 y}

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

7 y - 14 y

-7 y

⇥

- 7 e^{- 7 y}

⇥ⓘ Un exposant négatif fait passer la puissance de l'autre côté de la barre de fraction, pour une base non nulle :

- 7 e^{- 7 y}

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥1.7) Ensuite, on continue la dérivation :

⇥ⅰ

\frac{d}{d y} (\frac{1}{e^{7 y}})

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥

- \frac{7}{e^{7 y}}

⇥On remarque que la dérivée calculée et l'expression mathématique initiale sont les mêmes, à un coefficient près. Donc l'intégrale est :

⇥ⓘ La dérivée de

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

est

\frac{1}{e^{7 y}}

, donc

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

est une primitive de

\frac{1}{e^{7 y}}

\int \frac{1}{e^{7 y}} d y

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

⇥

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

⇥ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 y}}

- \frac{1 \cdot 1}{7 e^{7 y}}

- \frac{1}{7 e^{7 y}}

⇥

- \frac{1}{7 e^{7 y}}

⇥1.8) Calculons l'intégrale :

\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

⇥Pour l'expression mathématique :

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

, sachant que (exp(a))' = a'*exp(a), on tente de dériver

\exp (\sqrt{x})

⇥1.9) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\exp (\sqrt{x}))

⇥On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\exp (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \exp (f)

avec f =

\sqrt{x}

⇥ⓘ La dérivée de exp(x) est exp(x) :

\frac{d}{d x} (\exp (\sqrt{x}))

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) \cdot \exp (\sqrt{x})

⇥

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) \cdot \exp (\sqrt{x})

⇥ⓘ La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

⇥

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \exp (\sqrt{x})

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \exp (\sqrt{x})

\frac{1 \cdot \exp (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}

\frac{\exp (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}

⇥

\frac{\exp (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}

⇥La dérivée obtenue correspond à l'expression mathématique de départ à un facteur près. Donc l'intégrale est :

⇥ⓘ La dérivée de

2 e^{\sqrt{x}}

est

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

, donc

2 e^{\sqrt{x}}

est une primitive de

\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}

\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

2 e^{\sqrt{x}}

⇥

2 e^{\sqrt{x}}

En intégrant les deux membres, on obtient

- \frac{1}{7 e^{7 y}} = 2 e^{\sqrt{x}} + C

, où

C

est une constante réelle arbitraire

On multiplie par

-7

et on renomme

- 7 C

C

e^{-7 y} = - 14 e^{\sqrt{x}} + C

On isole

y

-7 y = \ln (- 14 e^{\sqrt{x}} + C)

, d'où

y = - \frac{\ln (- 14 e^{\sqrt{x}} + C)}{7}

, là où

- 14 e^{\sqrt{x}} + C > 0

▶Solution :

y = - \frac{\ln (- 14 e^{\sqrt{x}} + C)}{7}