Évaluons : $\sum _{k=1}^n{2}^k$

Pour traiter $\sum _{K=a}^b{c}^{K+d}$, on peut utiliser la formule : $c^{a+d}·\frac{c^{b-a+1}-1}{c-1}$

ⅰ $\sum _{k=1}^n{2}^k$ = $2·\frac{2^{n-1+1}-1}{2-1}$

$2·\frac{2^{n-1+1}-1}{2-1}$

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur : $2·\frac{2^{n-1+1}-1}{2-1}$ = $\frac{2·(2^{n-1+1}-1)}{2-1}$■Avant de calculer la puissance, on calcule son exposant : $-1+1$ = $0$■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division : $2-1$ = $1$

$\frac{2·(2^{n+0}-1)}{1}$

ⓘ Additionner 0 ne change rien : $n+0$ = $n$

$2·(2^n-1)$

ⓘ On développe par distributivité en multipliant chaque terme de la somme par l'autre facteur : $2·(2^n-1)$ = $2^{n+1}-2$

▶Résultat :   $2^{n+1}-2$