sum(8/(k^2-1),k=2,+inf) — solution étape par étape

1) Calculons :

\sum_{k = 2}^{+∞} \frac{8}{k^{2} - 1}

⇥1.1) Factorisons dans

ℝ

k^{2} - 1

⇥Pour

k^{2} - 1

, on reconnaît une différence de deux carrés :

k^{2} - 1^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = k

b = 1

⇥Facteurs trouvés :

(k + 1) \cdot (k - 1)

⇥1.2) On peut effectuer une décomposition en fractions partielles :

⇥

\frac{8}{(k + 1) \cdot (k - 1)} = \frac{A}{k + 1} + \frac{B}{k - 1}

⇥Pour le facteur simple :

k + 1

et sa racine :

-1

, on calcule A en multipliant par le dénominateur :

k^{2} - 1

puis en évaluant à la racine (les autres termes s'annulent) :

⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

(- 1 - 1) \cdot A = 8

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

- 1 - 1

-2

⇥

- 2 A = 8

⇥ⓘ On divise les deux membres par

-2

⇥

A = \frac{8}{-2}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{8}{-2}

- \frac{8}{2}

⇥

A = - \frac{8}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{2}

-4

⇥Solution obtenue :

A = -4

⇥Pour le facteur simple :

k - 1

et sa racine :

1

, on calcule B en multipliant par le dénominateur :

k^{2} - 1

puis en évaluant à la racine (les autres termes s'annulent) :

⇥1.4) Résolvons dans

ℝ

(1 + 1) \cdot B = 8

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

1 + 1

2

⇥

2 B = 8

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥

B = \frac{8}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

⇥Solution trouvée :

B = 4

⇥1.5) Finalement, on substitue les valeurs des inconnues dans la décomposition rationnelle initiale :

⇥

\frac{8}{(k + 1) \cdot (k - 1)} = - \frac{4}{k + 1} + \frac{4}{k - 1}

La décomposition donne :

\frac{8}{k^{2} - 1} = \frac{4}{k - 1} - \frac{4}{k + 1}

2) On sépare la somme finie jusqu'à

N

\sum_{k = 2}^{N} \frac{8}{k^{2} - 1} = \sum_{k = 2}^{N} \frac{4}{k - 1} - \sum_{k = 2}^{N} \frac{4}{k + 1}

On pose

K = k - 1

pour le dénominateur

k - 1

K = k + 1

pour le dénominateur

k + 1

\sum_{K = 1}^{N - 1} \frac{4}{K} - \sum_{K = 3}^{N + 1} \frac{4}{K}

Pour

N \geq 4

, on isole les termes aux extrémités :

(4 + \frac{4}{2} + \sum_{K = 3}^{N - 1} \frac{4}{K}) - (\sum_{K = 3}^{N - 1} \frac{4}{K} + \frac{4}{N} + \frac{4}{N + 1})

Les deux sommes de

3

N - 1

sont identiques et s'annulent :

4

+ \frac{4}{2}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

3) On prend maintenant la limite quand

N \to +∞

Évaluons la limite de

4

+ \frac{4}{2}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

quand

N \to +∞

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites■Un nombre divisé par une quantité qui devient infiniment grande tend vers 0

La limite de

- \frac{4}{N}

est

0

⁻ quand

N \to +∞

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites■Une quantité infiniment grande plus une quantité finie ou bornée reste infiniment grande

La limite de

N + 1

est

+∞

quand

N \to +∞

ⓘ Un nombre divisé par une quantité qui devient infiniment grande tend vers 0

La limite de

- \frac{4}{N + 1}

est

0

⁻ quand

N \to +∞

ⓘ La limite d'une somme de limites finies est la somme des limites

Donc la limite de

4

+ \frac{4}{2}

- \frac{4}{N}

- \frac{4}{N + 1}

est

4 + \frac{4}{2}

quand

N \to +∞

Calculons :

4 + \frac{4}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

4 + 2

ⓘ On part de

4

et on avance de

2

sur la droite des nombres :

4 + 2

6

ⅰ

\sum_{k = 2}^{+∞} \frac{8}{k^{2} - 1}

6

▶Résultat :

6