sum((1/2)^n,n=1,4) — solution étape par étape

1) Calculons :

\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{1}{2})}^{n}

Pour

\sum_{k = a}^{b} c^{k + d}

, on peut utiliser la formule :

c^{a + d} \cdot \frac{c^{b - a + 1} - 1}{c - 1}

ⅰ

\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{1}{2})}^{n}

\frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

\frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

ⓘ Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

\frac{1 \cdot ({(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1)}{2 \cdot (\frac{1}{2} - 1)}

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4 - 1 + 1} - 1}{2 \cdot (\frac{1}{2} - 1)}

■L'exposant se calcule avant la puissance :

- 1 + 1

0

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{1}{2} - 1

\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4 + 0} - 1}{2 \cdot \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

4 + 0

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

1 \cdot 2

2

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{2 \cdot \frac{1 - 2}{2}}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

2 \cdot \frac{1 - 2}{2}

\frac{2 \cdot (1 - 2)}{2}

■Les parenthèses se calculent en premier :

1 - 2

-1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

2 \cdot (-1)

-2

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{2}{2}}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{2}{2}}

- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{2}{2}}

- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{2}{2}}

ⓘ Le signe moins de la fraction entre dans le numérateur ou le dénominateur, dont il change le signe de chaque terme :

- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{2}{2}}

\frac{- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1}{\frac{2}{2}}

\frac{- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1}{\frac{2}{2}}

ⓘ Diviser revient à multiplier par l'inverse :

\frac{- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1}{\frac{2}{2}}

(- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1) \cdot \frac{2}{2}

■On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

(- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1) \cdot 1

- {(\frac{1}{2})}^{4} + 1

ⓘ La puissance d'un quotient est le quotient des puissances, (a/b)^n = a^n/b^n :

- {(\frac{1}{2})}^{4}

- \frac{1}{2^{4}}

- \frac{1}{2^{4}} + 1

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{4}

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

- \frac{1}{16} + 1

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{1}{16} + 1

\frac{- 1 + 16}{16}

\frac{- 1 + 16}{16}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 16

15

▶Résultat :

\frac{15}{16}

2) La valeur numérique de :

\frac{15}{16}

vaut :

▷

0,9375