tangente de 5x^2+8x-8 — solution étape par étape

Aucune abscisse n'est précisée : cherchons la tangente au point général

x = a

, pour

a

réel

Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 8 x - 8)

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 8 x - 8)

\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + 0

\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + 0

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (5 x^{2})

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (8 x)

8

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (8 x) + 0

\frac{d}{d x} (8 x)

5 \cdot 2 x + 8

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 2

10

10 x + 8

Calculons f(

a

)

Le point de contact est (

a

5 a^{2} + 8 a - 8

)

Calculons f'(

a

)

La pente est f'(

a

) =

10 a + 8

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = (10 a + 8) \cdot (x - a) + (5 a^{2} + 8 a - 8)

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = (5 a^{2} + 8 a - 8) - (10 a + 8) \cdot a

(5 a^{2} + 8 a - 8) - (10 a + 8) \cdot a

5 a^{2}

+ 8 a

- 8

- (10 a + 8) \cdot a

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (10 a + 8) \cdot a

- (10 a^{2} + 8 a)

5 a^{2}

+ 8 a

- 8

- (10 a^{2} + 8 a)

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (10 a^{2} + 8 a)

- 10 a^{2} - 8 a

5 a^{2}

+ 8 a

- 8

- 10 a^{2}

- 8 a

ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

5 a^{2} - 10 a^{2}

-5 a^{2}

8 a - 8 a

0

- 5 a^{2} + 0 - 8

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 8

-8

- 5 a^{2} - 8

y = (10 a + 8) \cdot x + (- 5 a^{2} - 8)

▶Tangente :

y = (10 a + 8) \cdot x - 5 a^{2} - 8