tangente de f(x)=1/x en x=-2 — solution étape par étape

Vérifions le domaine avant de calculer la tangente :

x \neq 0

Cherchons la tangente en

x = -2

Pour faciliter la dérivation, l'expression

\frac{1}{x}

est transformée en

x^{-1}

Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{-1})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{-1})

-1 \cdot x^{-2}

-1 \cdot x^{-2}

ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

-1 \cdot x^{-2}

- x^{-2}

- x^{-2}

ⓘ On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- x^{-2}

- \frac{1}{x^{2}}

- \frac{1}{x^{2}}

Calculons f(

-2

)

\frac{1}{-2}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{1}{-2}

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

Le point de contact est (

-2

- \frac{1}{2}

)

Calculons f'(

-2

)

- \frac{1}{{(-2)}^{2}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

- \frac{1}{4}

La pente est f'(

-2

) =

- \frac{1}{4}

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = - \frac{1}{4} \cdot (x + 2) - \frac{1}{2}

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = - \frac{1}{2} - (- \frac{1}{4} \cdot (-2))

- \frac{1}{2} - (- \frac{1}{4} \cdot (-2))

- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot 2

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{4} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{4}

\frac{2}{4}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

4

, le plus petit commun multiple de

2

4

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

- \frac{1}{2} - \frac{2}{4}

\frac{-1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2}{4}

\frac{- 1 \cdot 2 - 2}{4}

\frac{- 1 \cdot 2 - 2}{4}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

1 \cdot 2

2

\frac{- 2 - 2}{4}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 2 - 2

-4

- \frac{4}{4}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{4}

-1

-1

y = - \frac{1}{4} \cdot x - 1

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{1}{4} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{4}

\frac{x}{4}

▶Tangente :

y = - \frac{x}{4} - 1