tangente de f(x)=3sqrt(x) en x=16 — solution étape par étape

Cherchons la tangente en

x = 16

Dérivons :

\frac{d}{d x} (3 \sqrt{x})

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 \sqrt{x})

3 \cdot \frac{d}{d x} (\sqrt{x})

■La dérivée de sqrt(x) est 1/(2*sqrt(x)) :

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

3 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

3 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{3 \cdot 1}{2 \sqrt{x}}

\frac{3}{2 \sqrt{x}}

\frac{3}{2 \sqrt{x}}

Calculons f(

16

)

3 \cdot \sqrt{16}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

3 \cdot 4

ⅰ

3 \cdot 4

12

12

Le point de contact est (

16

12

)

Calculons f'(

16

)

\frac{3}{2 \cdot \sqrt{16}}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

\frac{3}{2 \cdot 4}

ⅰ

2 \cdot 4

8

\frac{3}{8}

La pente est f'(

16

) =

\frac{3}{8}

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = \frac{3}{8} \cdot (x - 16) + 12

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = 12 - \frac{3}{8} \cdot 16

12 - \frac{3}{8} \cdot 16

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{3}{8} \cdot 16

\frac{3 \cdot 16}{8}

\frac{48}{8}

12 - \frac{48}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

8

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{48}{8}

-6

12 - 6

ⓘ On part de

12

et on recule de

6

sur la droite des nombres :

12 - 6

6

6

y = \frac{3}{8} \cdot x + 6

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{3}{8} \cdot x

\frac{3 x}{8}

▶Tangente :

y = \frac{3 x}{8} + 6