tangente de f(x)=(1+4x)^9,(0,1) — solution étape par étape

Cherchons la tangente en

x = 0

Dérivons :

\frac{d}{d x} ({(1 + 4 x)}^{9})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

1 + 4 x

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(1 + 4 x)}^{9})

9 \cdot \frac{d}{d x} (1 + 4 x) \cdot {(1 + 4 x)}^{8}

9 \cdot \frac{d}{d x} (1 + 4 x) \cdot {(1 + 4 x)}^{8}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (1 + 4 x)

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

9 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (4 x)) \cdot {(1 + 4 x)}^{8}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

\frac{d}{d x} (4 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (4 x)

4

9 \cdot 4 \cdot {(1 + 4 x)}^{8}

ⅰ

9 \cdot 4

36

36 \cdot {(1 + 4 x)}^{8}

36 \cdot {(4 x + 1)}^{8}

Calculons f(

0

)

{(1 + 4 \cdot 0)}^{9}

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

4 \cdot 0

0

{(1 + 0)}^{9}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

1

Le point de contact est (

0

1

)

Calculons f'(

0

)

36 \cdot {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

4 \cdot 0

0

36 \cdot {(0 + 1)}^{8}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 1

1

36

La pente est f'(

0

) =

36

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = 36 x + 1

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = 1 - 36 \cdot 0

1 - 36 \cdot 0

ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

36 \cdot 0

0

1 + 0

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

1

▶Tangente :

y = 36 x + 1