tangente de f(x)=(x+2)/(x^2-9) en x=1

Vérifions le domaine avant de calculer la tangente :

x \in ℝ \ {-3; 3}

Cherchons la tangente en

x = 1

⇥1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{x^{2} - 9})

⇥Pour

p1

x + 2

q2

x^{2} - 9

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Dérivons

p1

\frac{d}{d x} (x + 2)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x + 2)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

⇥

1

⇥3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{1 \cdot (x^{2} - 9) - (x + 2) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥

\frac{x^{2} - 9 - (x + 2) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(x + 2) \cdot 2

x \cdot 2 + 4

⇥

\frac{x^{2} - 9 - (x \cdot 2 + 4) \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- (x \cdot 2 + 4) \cdot x

- (2 x^{2} + 4 x)

⇥

\frac{x^{2} - 9 - (2 x^{2} + 4 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 x^{2} + 4 x)

- 2 x^{2} - 4 x

⇥

\frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

x^{2} - 2 x^{2}

- x^{2}

⇥

\frac{- x^{2} - 9 - 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- x^{2} - 9 - 4 x

- (x^{2} + 9 + 4 x)

⇥

- \frac{x^{2} + 9 + 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥5) Puis on reprend la dérivation :

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{x^{2} - 9})

- \frac{x^{2} + 9 + 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥

- \frac{x^{2} + 9 + 4 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

⇥

- \frac{x^{2} + 4 x + 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}

Calculons f(

1

)

⇥

\frac{1 + 2}{1^{2} - 9}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 2

3

1 - 9

-8

⇥

\frac{3}{-8}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{3}{-8}

- \frac{3}{8}

⇥

- \frac{3}{8}

Le point de contact est (

1

- \frac{3}{8}

)

Calculons f'(

1

)

⇥

- \frac{1^{2} + 4 \cdot 1 + 9}{{(1^{2} - 9)}^{2}}

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

1 - 9

-8

⇥

- \frac{1 + 4 + 9}{{(-8)}^{2}}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 4

5

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-8)}^{2}

(-8) \cdot (-8)

64

⇥

- \frac{5 + 9}{64}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

5 + 9

14

⇥

- \frac{14}{64}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{14}{64}

- \frac{7 \cdot 2}{32 \cdot 2}

- \frac{7}{32}

⇥

- \frac{7}{32}

La pente est f'(

1

) =

- \frac{7}{32}

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = - \frac{7}{32} \cdot (x - 1) - \frac{3}{8}

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = - \frac{3}{8} + \frac{7}{32}

⇥

- \frac{3}{8} + \frac{7}{32}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

32

, le plus petit commun multiple de

8

32

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

- \frac{3}{8} + \frac{7}{32}

\frac{-3 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{7}{32}

\frac{- 3 \cdot 4 + 7}{32}

⇥

\frac{- 3 \cdot 4 + 7}{32}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

⇥

\frac{- 12 + 7}{32}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 12 + 7

-5

⇥

- \frac{5}{32}

⇥

y = - \frac{7}{32} \cdot x - \frac{5}{32}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{7}{32} \cdot x

\frac{7 x}{32}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{7 x}{32} - \frac{5}{32}

\frac{- 7 x - 5}{32}

⇥

y = \frac{- 7 x - 5}{32}

ⓘ On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 7 x - 5

- (7 x + 5)

▶Tangente :

y = - \frac{7 x + 5}{32}