tangente de f(x)=(x^2)/(x+1) en x=2

Vérifions le domaine avant de calculer la tangente :

x \neq -1

Cherchons la tangente en

x = 2

⇥1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + 1})

⇥Pour

p1

x^{2}

q2

x + 1

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥2) Effectuons la dérivation

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥3) Effectuons la dérivation

q2

\frac{d}{d x} (x + 1)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x + 1)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

1 + 0

1

⇥

1

⇥4) On évalue la dérivée résultante (

\frac{p1}{q2}

)' :

\frac{2 x \cdot (x + 1) - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}

⇥

\frac{2 x \cdot (x + 1) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}

⇥ⓘ On met en facteur ce qui est commun aux termes, pour pouvoir simplifier la fraction :

\frac{2 x \cdot (x + 1) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}

\frac{x \cdot (2 \cdot (x + 1) - x)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥

\frac{x \cdot (2 \cdot (x + 1) - x)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

2 \cdot (x + 1)

2 x + 2

⇥

\frac{x \cdot (2 x + 2 - x)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

2 x - x

x

⇥

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥5) Ensuite, on continue la dérivation :

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + 1})

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

⇥

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

Calculons f(

2

)

⇥

\frac{2^{2}}{2 + 1}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 1

3

⇥

\frac{4}{3}

Le point de contact est (

2

\frac{4}{3}

)

Calculons f'(

2

)

⇥

\frac{2 \cdot (2 + 2)}{{(2 + 1)}^{2}}

⇥ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

2 + 2

4

2 + 1

3

⇥

\frac{2 \cdot 4}{3^{2}}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

\frac{8}{9}

La pente est f'(

2

) =

\frac{8}{9}

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = \frac{8}{9} \cdot (x - 2) + \frac{4}{3}

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = \frac{4}{3} - \frac{8}{9} \cdot 2

⇥

\frac{4}{3} - \frac{8}{9} \cdot 2

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{8}{9} \cdot 2

\frac{8 \cdot 2}{9}

\frac{16}{9}

⇥

\frac{4}{3} - \frac{16}{9}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

9

, le plus petit commun multiple de

3

9

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

\frac{4}{3} - \frac{16}{9}

\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{16}{9}

\frac{4 \cdot 3 - 16}{9}

⇥

\frac{4 \cdot 3 - 16}{9}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

⇥

\frac{12 - 16}{9}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

12 - 16

-4

⇥

- \frac{4}{9}

⇥

y = \frac{8}{9} \cdot x - \frac{4}{9}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{8}{9} \cdot x

\frac{8 x}{9}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

\frac{8 x}{9} - \frac{4}{9}

\frac{8 x - 4}{9}

▶Tangente :

y = \frac{8 x - 4}{9}