tangente de (64)/(x^2+16) en x=3 — solution étape par étape

Vérifions le domaine avant de calculer la tangente :

x \in ℝ

Cherchons la tangente en

x = 3

Pour simplifier la dérivation, on réécrit

\frac{64}{x^{2} + 16}

64 \cdot {(x^{2} + 16)}^{-1}

Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (64 \cdot {(x^{2} + 16)}^{-1})

On utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x^{2} + 16

ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (64 \cdot {(x^{2} + 16)}^{-1})

64 \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 16)}^{-1})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 16)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2}

64 \cdot (-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2})

ⓘ Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

64 \cdot (-1)

-64

■La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 16)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

-64 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■On passe le facteur au numérateur ou au dénominateur en changeant le signe de son exposant, pour une base non nulle :

- 64 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) \cdot {(x^{2} + 16)}^{-2}

- \frac{64 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

- \frac{64 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

- \frac{64 \cdot 2 x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

ⅰ

64 \cdot 2

(60 + 4) \cdot 2

60 \cdot 2 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

- \frac{128 x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}

Calculons f(

3

)

\frac{64}{3^{2} + 16}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

\frac{64}{9 + 16}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

9 + 16

25

\frac{64}{25}

Le point de contact est (

3

\frac{64}{25}

)

Calculons f'(

3

)

- \frac{128 \cdot 3}{{(3^{2} + 16)}^{2}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

ⅰ

128 \cdot 3

(100 + 20 + 8) \cdot 3

100 \cdot 3 + 20 \cdot 3 + 8 \cdot 3

300 + 60 + 24

384

- \frac{384}{{(9 + 16)}^{2}}

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

9 + 16

25

- \frac{384}{25^{2}}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

25^{2}

25 \cdot 25

625

- \frac{384}{625}

La pente est f'(

3

) =

- \frac{384}{625}

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = - \frac{384}{625} \cdot (x - 3) + \frac{64}{25}

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = \frac{64}{25} - (- \frac{384}{625} \cdot 3)

\frac{64}{25} - (- \frac{384}{625} \cdot 3)

ⓘ Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- (- \frac{384}{625} \cdot 3)

\frac{384}{625} \cdot 3

\frac{64}{25} + \frac{384}{625} \cdot 3

ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

\frac{384}{625} \cdot 3

\frac{384 \cdot 3}{625}

\frac{1152}{625}

\frac{64}{25} + \frac{1152}{625}

ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

625

, le plus petit commun multiple de

25

625

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

\frac{64}{25} + \frac{1152}{625}

\frac{64 \cdot 25}{25 \cdot 25} + \frac{1152}{625}

\frac{64 \cdot 25 + 1152}{625}

\frac{64 \cdot 25 + 1152}{625}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

64 \cdot 25

64 \cdot (20 + 5)

64 \cdot 20 + 64 \cdot 5

1280 + 320

1600

\frac{1600 + 1152}{625}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1600 + 1152

2752

\frac{2752}{625}

y = - \frac{384}{625} \cdot x + \frac{2752}{625}

ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{384}{625} \cdot x

\frac{384 x}{625}

■Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{384 x}{625} + \frac{2752}{625}

\frac{- 384 x + 2752}{625}

▶Tangente :

y = \frac{- 384 x + 2752}{625}