tangente de (x^3+2x)^3,at x=4 — solution étape par étape

Cherchons la tangente en

x = 4

Dérivons :

\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 2 x)}^{3})

On applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

avec f =

x^{3} + 2 x

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 2 x)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x) \cdot {(x^{3} + 2 x)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x) \cdot {(x^{3} + 2 x)}^{2}

ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x)

3 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x)) \cdot {(x^{3} + 2 x)}^{2}

ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

3 \cdot (3 x^{2} + 2) \cdot {(x^{3} + 2 x)}^{2}

Calculons f(

4

)

{(4^{3} + 2 \cdot 4)}^{3}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 4

8

{(64 + 8)}^{3}

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

64 + 8

72

72^{3}

ⓘ Une puissance entière est un produit répété :

72^{3}

72 \cdot 72 \cdot 72

373 248

373 248

Le point de contact est (

4

373 248

)

Calculons f'(

4

)

3 \cdot (3 \cdot 4^{2} + 2) \cdot {(4^{3} + 2 \cdot 4)}^{2}

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{2}

4 \cdot 4

16

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 4

8

3 \cdot (3 \cdot 16 + 2) \cdot {(64 + 8)}^{2}

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 16

3 \cdot (10 + 6)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 6

30 + 18

48

■Les parenthèses se calculent en premier :

64 + 8

72

3 \cdot (48 + 2) \cdot 72^{2}

ⓘ Les parenthèses se calculent en premier :

48 + 2

50

■Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

72^{2}

72 \cdot 72

5184

3 \cdot 50 \cdot 5184

ⅰ

3 \cdot 50

150

150 \cdot 5184

ⅰ

150 \cdot 5184

(100 + 50) \cdot 5184

100 \cdot 5184 + 50 \cdot 5184

518 400 + 259 200

777 600

777 600

La pente est f'(

4

) =

777 600

La tangente passe par ce point avec cette pente :

y = 777 600 \cdot (x - 4) + 373 248

Calculons l'ordonnée à l'origine :

b = 373 248 - 777 600 \cdot 4

373 248 - 777 600 \cdot 4

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

777 600 \cdot 4

3 110 400

373 248 - 3 110 400

ⓘ On part de

373 248

et on recule de

3 110 400

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

373 248 - 3 110 400

-2 737 152

-2 737 152

▶Tangente :

y = 777 600 x - 2 737 152